2. 考研
  3. 设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且x为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且x为对应的特征向量．

设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且x为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且x为对应的特征向量．

admin2018-08-02  109
问题 设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且x为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且x为对应的特征向量．
选项
答案若λ=0，则有｜0E-A｜=0，即(-1)n｜A｜=0，[*]｜A｜=0，这与A可逆矛盾，故必有λ≠0；由Ax=λx两端右乘A-1，得λA-1x=x，两端同乘[*]，得A-1x=[*]x，故[*]为A-1的一个特征值，且c为对应的特征向量；因A-1=｜A｜A*，代入A*x=[*]x，得A*x=[*]为A*的一个特征值．且x为对应的特征向量．
解析
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考研数学二

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