设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)为A-1的特征值，且x为对应的特征向量；(3)为A*的特征值，且x为对应的特征向量．

admin2018-08-02 81

问题设λ为可逆方阵A的特征值，且x为对应的特征向量，证明：(1)λ≠0；(2)

为A^-1的特征值，且x为对应的特征向量；(3)

为A^*的特征值，且x为对应的特征向量．

选项

答案若λ=0，则有｜0E-A｜=0，即(-1)ⁿ｜A｜=0，[*]｜A｜=0，这与A可逆矛盾，故必有λ≠0；由Ax=λx两端右乘A^-1，得λA^-1x=x，两端同乘[*]，得A^-1x=[*]x，故[*]为A^-1的一个特征值，且c为对应的特征向量；因A^-1=｜A｜A^*，代入A^*x=[*]x，得A^*x=[*]为A^*的一个特征值．且x为对应的特征向量．

解析

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考研数学二

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