用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2x2+x3x2-4x1x2-4x1x3-4x2x3为标准二次型

admin2015-06-30 103

问题用正交变换法化二次型f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂x²+x₃x²-4x₁x₂-4x₁x₃-4x₂x₃为标准二次型

选项

答案f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX，其中[*] =(λ+3)(λ-3)²=0得λ₁=-3，λ₂=λ₃=3．由(-3E-A)X=0得λ₁=-3对应的线性无关的特征向量为α₁=[*] 由(3E-A)X=0得λ₂=λ₃=3对应的线性无关的特征向量为[*] 将α₂，α₃正交化得[*]，单位化得 [*] 则f(x₁，x₂，x₃)=X^TAX[*]Y^T(Q^TAQ)Y=-3y₁²+3y₂x²+3y₃x²

解析

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