A是n阶矩阵,且A3=0,则( ).

admin2013-09-03  49

问题 A是n阶矩阵,且A3=0,则(    ).

选项 A、A不可逆,层-A也不可逆
B、A可逆,E+A也可逆
C、A2-A+E与A2+A+E均可逆
D、A不可逆,且A2必为0

答案C

解析 由|A|3=|A|3=0知A不可逆,而
  (E-A)(E+A+A2)=E-A3,(E+A)(E-A+A2)=E+A3知,E-A,E+A,E+
A+A2,E-A+A2均可逆
由行列式性质|A|3=|A|3=0,可知A必不可逆,但从
  (E-A)(E+A+A2)=E-A3=E,(E+A)(E-A+A2)=E+A3=E,知
  E-A,E+A,E+A+A2,E-A+A2均可逆.
当A3=0时,A2是否为0是不能确定的,例如:A1=,有A13=0,但A12≠0,A23=0,且A22=o,故选(C).
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