A是n阶矩阵，且A3=0，则( )．

admin2013-09-03 67

问题 A是n阶矩阵，且A³=0，则( )．

选项 A、A不可逆，层-A也不可逆
B、A可逆，E+A也可逆
C、A²-A+E与A²+A+E均可逆
D、A不可逆，且A²必为0

答案C

解析由｜A｜³=｜A｜³=0知A不可逆，而
  (E-A)(E+A+A²)=E-A³，(E+A)(E-A+A²)=E+A³知，E-A，E+A，E+
A+A²，E-A+A²均可逆
由行列式性质｜A｜³=｜A｜³=0，可知A必不可逆，但从
  (E-A)(E+A+A²)=E-A³=E，(E+A)(E-A+A²)=E+A³=E，知
  E-A，E+A，E+A+A²，E-A+A²均可逆．
当A³=0时，A²是否为0是不能确定的，例如：A₁=

，有A₁³=0，但A₁²≠0，A₂³=0，且A₂²=o，故选(C)．

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考研数学一

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