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  3. 已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)。

已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)。

admin2018-12-29  16
问题 已知A是三阶实对称矩阵，满足A4+2A3+A2+2A=O，且秩r(A)=2，求矩阵A的全部特征值，并求秩r(A+E)。
选项
答案设λ是矩阵A的任一特征值，α(α≠0)是属于特征值λ的特征向量，则Aα=λα，于是Anα=λnα。用α右乘A4+2A3+A2+2A=O，得(λ4+2λ3+λ2+2λ)α=0。 因为特征向量α≠0，故λ4+2λ3+λ2+2λ=λ(λ+2)(λ2+1)=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵A的特征值是0或—2。 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩r(A)=r(Λ)=2，所以A的特征值是0，—2，—2。 因A相似于Λ，则有A+E相似于Λ+E=[*]，所以r(A+E)=r(Λ+E)=3。
解析
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考研数学一

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