已知A是三阶实对称矩阵,满足A4+2A3+A2+2A=O,且秩r(A)=2,求矩阵A的全部特征值,并求秩r(A+E)。

admin2018-12-29  21

问题 已知A是三阶实对称矩阵,满足A4+2A3+A2+2A=O,且秩r(A)=2,求矩阵A的全部特征值,并求秩r(A+E)。

选项

答案设λ是矩阵A的任一特征值,α(α≠0)是属于特征值λ的特征向量,则Aα=λα,于是Anα=λnα。用α右乘A4+2A3+A2+2A=O,得(λ4+2λ32+2λ)α=0。 因为特征向量α≠0,故λ4+2λ32+2λ=λ(λ+2)(λ2+1)=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数,从而矩阵A的特征值是0或—2。 由于实对称矩阵必可相似对角化,且秩r(A)=r(Λ)=2,所以A的特征值是0,—2,—2。 因A相似于Λ,则有A+E相似于Λ+E=[*],所以r(A+E)=r(Λ+E)=3。

解析
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