设n是正整数，记Sn为y=e2-xsin x(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积，求Sn，并求Sn．

admin2022-09-22 111

问题设n是正整数，记S_n为y=e^2-xsin x(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积，求S_n，并求

S_n．

选项

答案设区间[kπ，(k+1)π](k=0，1，2，…，n-1)上所围的面积记为u_k，则 u_k=∫_kπ^(k+1)πe^-x｜sin x｜dx=(-1)^k∫_kπ^(k+1)πe^-xsin xdx；记I=∫e^-xsin xdx，则 I=-∫e^-xdcos x=-(e^-xcosx-∫cos xde^-x) =-e^-xcos x-∫e^-xdsin x=-e^-xcos x-(e^-xsin x-∫sin xde^-x) =-e^-x(cos x+sin x)-I．因此I=-[*]e^-x(cos x+sin x)+C， u_k=(-1)^k(-1／2)e^-x(cos x+sin x)｜_kπ^(k+1)π=[*](e^-(k+1)π)+e^-kπ) (这里需要注意cos kπ=(-1)^k)． [*]

解析

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