2. 考研
  3. 设n是正整数，记Sn为y=e2-xsin x(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积，求Sn，并求Sn．

设n是正整数，记Sn为y=e2-xsin x(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积，求Sn，并求Sn．

admin2022-09-22  89
问题 设n是正整数，记Sn为y=e2-xsin x(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积，求Sn，并求Sn．
选项
答案设区间[kπ，(k+1)π](k=0，1，2，…，n-1)上所围的面积记为uk，则 uk=∫kπ(k+1)πe-x｜sin x｜dx=(-1)k∫kπ(k+1)πe-xsin xdx； 记I=∫e-xsin xdx，则 I=-∫e-xdcos x=-(e-xcosx-∫cos xde-x) =-e-xcos x-∫e-xdsin x=-e-xcos x-(e-xsin x-∫sin xde-x) =-e-x(cos x+sin x)-I． 因此I=-[*]e-x(cos x+sin x)+C， uk=(-1)k(-1／2)e-x(cos x+sin x)｜kπ(k+1)π=[*](e-(k+1)π)+e-kπ) (这里需要注意cos kπ=(-1)k)． [*]
解析
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考研数学二

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