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设n是正整数,记Sn为y=e2-xsin x(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积,求Sn,并求Sn.
设n是正整数,记Sn为y=e2-xsin x(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积,求Sn,并求Sn.
admin
2022-09-22
96
问题
设n是正整数,记S
n
为y=e
2-x
sin x(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积,求S
n
,并求
S
n
.
选项
答案
设区间[kπ,(k+1)π](k=0,1,2,…,n-1)上所围的面积记为u
k
,则 u
k
=∫
kπ
(k+1)π
e
-x
|sin x|dx=(-1)
k
∫
kπ
(k+1)π
e
-x
sin xdx; 记I=∫e
-x
sin xdx,则 I=-∫e
-x
dcos x=-(e
-x
cosx-∫cos xde
-x
) =-e
-x
cos x-∫e
-x
dsin x=-e
-x
cos x-(e
-x
sin x-∫sin xde
-x
) =-e
-x
(cos x+sin x)-I. 因此I=-[*]e
-x
(cos x+sin x)+C, u
k
=(-1)
k
(-1/2)e
-x
(cos x+sin x)|
kπ
(k+1)π
=[*](e
-(k+1)π
)+e
-kπ
) (这里需要注意cos kπ=(-1)
k
). [*]
解析
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考研数学二
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