设B是由矩阵A经初等行变换得到的矩阵．证明：A与B的列向量有完全相同的线性关系，即k1α1+k2α2+…+kmαm=0当且仅当有k1β1+k2β2+…+kmβm=0，其中α1，α2，…，αm与β1，β2，…，βm分别为A和B的列向量．

admin2020-09-25 63

问题设B是由矩阵A经初等行变换得到的矩阵．证明：A与B的列向量有完全相同的线性关系，即k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=0当且仅当有k₁β₁+k₂β₂+…+k_mβ_m=0，其中α₁，α₂，…，α_m与β₁，β₂，…，β_m分别为A和B的列向量．

选项

答案考虑线性方程组Ax=0与Bx=0，因为B是由A经初等行变换得到的，所以Ax=0与Bx=0同解．所以当k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m=0，即(α₁，α₂，…，α_m)[*]时，有[*]．展开即得(β₁，β₂，…，β_m)[*]=0，也即k₁β₁+k₂β₂+…+k_mβ_m=0．反之也成立．故原命题得证．

解析

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考研数学三

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设B是由矩阵A经初等行变换得到的矩阵．证明：A与B的列向量有完全相同的线性关系，即k1α1+k2α2+…+kmαm=0当且仅当有k1β1+k2β2+…+kmβm=0，其中α1，α2，…，αm与β1，β2，…，βm分别为A和B的列向量．

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