设A是3阶实对称矩阵，二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为y12+y22-y32，A是A的伴随矩阵，则二次型g(x1，x2，x3)-xTAx的规范形为( )

admin2022-04-27 60

问题设A是3阶实对称矩阵，二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx在正交变换x=Qy下的标准形为y₁²+y₂²-y₃²，A^*是A的伴随矩阵，则二次型g(x₁，x₂，x₃)-x^TA^*x的规范形为( )

选项 A、y₁²+y₂²+y₃²．
B、-y₁²-y₂²-y₃²．
C、y₁²+y₂²-y₃²．
D、-y₁²-y₂²+y₃²．

答案D

解析由惯性定理，二次型在可逆线性变换下的正、负惯性指数不变，且p+q=r(A)．
由已知，A的特征值为λ₁=λ₂=1，λ₃=-1．故A^*的特征值为

所以x^TA^*x的规范形为-y₁²-y₂²+y₃²．D正确．

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