[2007年] 设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=－2，α1=[1，－1，1]T是A的属于λ1的一个特征向量．记B=A5－4A3+E，其中E为三阶单位矩阵．求矩阵B．

admin2021-01-25 63

问题 [2007年] 设三阶实对称矩阵A的特征值λ₁=1，λ₂=2，λ₃=－2，α₁=[1，－1，1]^T是A的属于λ₁的一个特征向量．记B=A⁵－4A³+E，其中E为三阶单位矩阵．
求矩阵B．

选项

答案解一令[*]则P^-1BP=diag(一2，1，1)．于是 [*] 解二将α₂，α₃正交化，得到 [*] 再将α₁，β₂，β₃单位化，得到 [*] 令Q=[η₁，η₂，η₃]，则Q为正交矩阵，其正交变换X=QY可将Q实对称矩阵B对角化，即 Q^-1BQ=Q^TBQ=A=diag(一2，1，1)，亦即 [*] 解二比解一虽然多了正交化，但单位化的步骤免去了求逆矩阵的计算(因Q^-1=Q^T)．

解析

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考研数学三

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