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设函数u(χ,y),v(χ,y)具有一阶连续偏导数,且满足.C为包围原点的正向闭曲线.证明: (Ⅰ)[(χv-yu)aχ+(χu+yv)dy]=[(χv-yu)dχ+(χu+yv)dy], 其中Cr+是以原点为心r为半径的圆周,取逆时针方向
设函数u(χ,y),v(χ,y)具有一阶连续偏导数,且满足.C为包围原点的正向闭曲线.证明: (Ⅰ)[(χv-yu)aχ+(χu+yv)dy]=[(χv-yu)dχ+(χu+yv)dy], 其中Cr+是以原点为心r为半径的圆周,取逆时针方向
admin
2018-06-12
92
问题
设函数u(χ,y),v(χ,y)具有一阶连续偏导数,且满足
.C为包围原点的正向闭曲线.证明:
(Ⅰ)
[(χv-yu)aχ+(χu+yv)dy]=
[(χv-yu)dχ+(χu+yv)dy],
其中C
r
+
是以原点为心r为半径的圆周,取逆时针方向,r充分小使C
r
+
在C所围区域内;
(Ⅱ)
[(χv-yu)dχ+(χu+yv)dy]=2πu(0,0).
选项
答案
(Ⅰ)由题设可知,记P=[*](χv,yu),Q=[*](χu+yv),则 [*] 从而[*][2u(χ
2
+y
2
)-2u(χ
2
+y
2
)]=0.(χ
2
+y
2
≠0) 在C与C
r
+
所围的区域D上用格林公式得 [*] 其中C
r
-
为顺时针方向(如图25—2). [*] 于是∮
C
Pdχ+Qdy=[*]+Pdχ+Qdy. 即结论(Ⅰ)成立. (Ⅱ)在C
r
+
上χ
2
+y
2
=r
2
,由结论(Ⅰ)得 ∮
C
Pdχ+Qdy=[*]P
1
dχ+Q
1
dy 其中P
1
(χ,y)=χv-yu,Q
1
(χ,y)=χu+yv. [*] 在C
r
+
围成的区域D,上用格林公式得 [*] 再由二重积分中值定理得,[*](ξ,η)∈D,使得 [*]udσ=πr
2
(ξ,η), 因此,对[*]充分小的r>0,就有 ∮
C
Pdχ+Qdy=[*].πr
2
u(ξ,η)=2πu(ξ,η). 令r→0得∮
C
Pdχ+Qdy=2πu(0,0).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cTg4777K
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考研数学一
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