设函数u(χ,y),v(χ,y)具有一阶连续偏导数,且满足.C为包围原点的正向闭曲线.证明: (Ⅰ)[(χv-yu)aχ+(χu+yv)dy]=[(χv-yu)dχ+(χu+yv)dy], 其中Cr+是以原点为心r为半径的圆周,取逆时针方向

admin2018-06-12  41

问题 设函数u(χ,y),v(χ,y)具有一阶连续偏导数,且满足.C为包围原点的正向闭曲线.证明:
    (Ⅰ)[(χv-yu)aχ+(χu+yv)dy]=[(χv-yu)dχ+(χu+yv)dy],
    其中Cr是以原点为心r为半径的圆周,取逆时针方向,r充分小使Cr在C所围区域内;
    (Ⅱ)[(χv-yu)dχ+(χu+yv)dy]=2πu(0,0).

选项

答案(Ⅰ)由题设可知,记P=[*](χv,yu),Q=[*](χu+yv),则 [*] 从而[*][2u(χ2+y2)-2u(χ2+y2)]=0.(χ2+y2≠0) 在C与Cr+所围的区域D上用格林公式得 [*] 其中Cr-为顺时针方向(如图25—2). [*] 于是∮CPdχ+Qdy=[*]+Pdχ+Qdy. 即结论(Ⅰ)成立. (Ⅱ)在Cr+上χ2+y2=r2,由结论(Ⅰ)得 ∮CPdχ+Qdy=[*]P1dχ+Q1dy 其中P1(χ,y)=χv-yu,Q1(χ,y)=χu+yv. [*] 在Cr+围成的区域D,上用格林公式得 [*] 再由二重积分中值定理得,[*](ξ,η)∈D,使得 [*]udσ=πr2(ξ,η), 因此,对[*]充分小的r>0,就有 ∮CPdχ+Qdy=[*].πr2u(ξ,η)=2πu(ξ,η). 令r→0得∮CPdχ+Qdy=2πu(0,0).

解析
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