n维向量α1,α2,…,α3,线性无关的充要条件是( ).

admin2021-05-21  31

问题 n维向量α1,α2,…,α3,线性无关的充要条件是(    ).

选项 A、存在不全为0的k1,k2,…,ks,使后k1α1+k2α2+…+ksαs≠O.
B、添加向量β后,α1,α2,…,αs,β线性无关.
C、去掉任一向量αi后,αi,…,αi-1αi+1……,αs线性无关.
D、α1,α2一α1,α3一α1…,α3一α1线性无关.

答案D

解析 若向培组中有非零向量,必有不全为0的数k1,k2,…,ks,使k1α1+k2a2+…+ksas,≠0,但α1,α2,…,αs,不一定线性无关,故不能选A,B仅是充分条件,并不是必要条件.例如一组基是线性无关的,此时已不存在β,在添加β仍能保证向量组线性无关.C只是必要条件,并不是充分条件,一个向量组线性无关,那么其任何一个部分组都是线性无关的.由于初等变换不改变向量组的秩,D相当于对α1,α2,…,αs为列的矩阵作初等变换所得的结果.可见r(α1,α2,…,as)=r(α1,α2一α1一αs一α1),因此r(α1,α2,…,α1)=sr(α1,α2一α1,…,αs一α1)=s.故选D.
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