2. 考研
  3. 设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=1，试证：对任意正数a，b，在（0，1）内存在不同的两点ξ，η，使

设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=1，试证：对任意正数a，b，在（0，1）内存在不同的两点ξ，η，使

admin2021-10-02  86
问题 设f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且f（0）=0，f（1）=1，试证：对任意正数a，b，在（0，1）内存在不同的两点ξ，η，使
选项
答案按要证的结论，我们需要找一点c∈(0，1)，分别在[0，c]与[c，1]上用拉格朗日中值定理 [*] 问题转化为如何取c，只需取c使得 [*] 也即只需取c使得 [*] 因为a＞0，b＞0，定有 [*] 又f(x)在[0，1]上连续，f(0)=0，f(1)=1，由介值定理可知，[*]取这样的c，命题即得证．
解析
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考研数学三

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