设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证:对任意正数a,b,在(0,1)内存在不同的两点ξ,η,使

admin2021-10-02  46

问题 设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证:对任意正数a,b,在(0,1)内存在不同的两点ξ,η,使

选项

答案按要证的结论,我们需要找一点c∈(0,1),分别在[0,c]与[c,1]上用拉格朗日中值定理 [*] 问题转化为如何取c,只需取c使得 [*] 也即只需取c使得 [*] 因为a>0,b>0,定有 [*] 又f(x)在[0,1]上连续,f(0)=0,f(1)=1,由介值定理可知,[*]取这样的c,命题即得证.

解析
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