(2017年)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n次测量,该物体的质量μ是已知的,设n次测量结果X1,X2,…,Xn相互独立且均服从正态分布N(μ,σ2)。该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi=|Xi-μ|(i=1,2,…,n),利用

admin2019-03-19  36

问题 (2017年)某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n次测量,该物体的质量μ是已知的,设n次测量结果X1,X2,…,Xn相互独立且均服从正态分布N(μ,σ2)。该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi=|Xi-μ|(i=1,2,…,n),利用Z1,Z2,…,Zn估计σ。
    (I)求Zi的概率密度;
    (Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量;
    (Ⅲ)求σ的最大似然估计量。

选项

答案(Ⅰ)因为Xi~N(μ,σ2),所以Yi=Xi-μ~N(0,σ2),则随机变量Yi的概率密度为 [*] 设Zi的分布函数为FZi(z),则当z<0时,FZi(z)=0; 当z≥0时,FZi(z)=P{Zi≤z}=P{|Yi|≤z}=P{-z≤Yi≤z}=∫-zz[*] 所以ZI的概率密度为fZi(z)=[*] (Ⅱ)E(Zi)=∫0+∞[*],则σ的矩估计量[*] (Ⅲ)设Z1,Z2,…,Zn的观测值为z1,z2,…,zn,则似然函数为 L(z1,z2,…,zn;σ)=[*] 取对数得 [*] 令[*],故σ的最大似然估计量为[*]

解析
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