设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2019-01-23 81

问题设二次型f(x₁,x₂,x₃)=2(a₁x₁+a₂x₂+a₃x₃)²+(b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃)²，
记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y₁²+y₂²。

选项

答案设A=2αα^T+ββ^T，由于|α|=1，α=ββ^Tα=0，则 Aα=(2αα^T+ββ^T)α=2α|α|²+ββ^Tα=2α，所以α为矩阵对应特征值λ₁=2的特征向量； Aβ=(2αα^T+ββ^T)β=2α|α|²+β|β|²=β，所以β为矩阵对应特征值λ₂=1的特征向量。而矩阵A的秩 r(A)=r(2αα^T+ββ^T)≤r(2αα^T)+r(ββ^T)=2，所以λ₃=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为2₁²+y₂²。

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/cmP4777K

考研数学三

相关试题推荐

设f(1)=0，f’(1)=a，求极限．
设f(x)在x=a的某邻域内可导，且f(a)≠0，a≠0，求极限．
已知{an}是单调增加且有界的正数列，证明：级数收敛．
设A是阶反对称阵，B是主对角元均大于零的n阶对角阵，证明：A+B是可逆阵．
已知A相似于B，即存在可逆阵P，使得P—1AP=B．求证：存在可逆阵Q，使得Q—1AQ=B的充分必要条件是存在与A可交换的可逆阵C，使得Q=CP．
设A是n阶方阵，证明：AnX=0和An+1X=0是同解方程组．
已知在微分方程y’+p(x)y=f(x)中，p(x)≥c＞0，且f(x)=0．试证：微分方程的通解当x→+∞时都趋于零．
已知A=有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2004．
袋中装有4枚正品均匀硬币，2枚次品均匀硬币，次品硬币的两面均印有国徽．在袋中任取一枚，将它投掷了3次，已知每次都得到国徽，求此硬币是正品的概率．
在数中求出最大值．

随机试题

Earlychildhoodisatimeoftremendousgrowthacrossallareasofdevelopment,especiallythelanguageskills.Frombirthupt
公证活动应当遵循的核心原则是_______。
中国半殖民地半封建社会结束的标志是【】
女孩，6岁，突发腹痛11小时，以脐周痛为主，腹痛呈持续性，逐渐加重。发热39℃，排正常大便1次。查体：患儿腹胀，全腹有明显压痛及肌紧张，移动性浊音(+)，肠鸣音消失。血常规：WBC19×109／L，中性粒细胞0．9。此患儿应考虑为
在一个施工现场有甲、乙两个独立承包人同时施工，由于施工出现交叉干扰，致使甲、乙分别受到一定损失，总监理工程师向甲发出了暂停施工指令，则()
教育研究具有的特征是()。
DBMS中的查询处理器由DDL编译器、DML编译器、嵌入型DML预编译器及【】组成。
(1)打开表单one，向其中添加一个组合框(Combol)，并将其设置为下拉列表框。(2)在表单one中，通过RowSource和RowSourceType属性手1指定组合框Combol的显示条目为“上海”、“北京”(不要使用命令指定这两个属性)
Theirresponsibleteacherknewthestudentwascheatingbutdecidedtolook______.
Accordingtothepassage,whomightbeespeciallyinterestedinthenewprogram?

最新回复(0)

设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2， 记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

考研数学三

设f(1)=0，f’(1)=a，求极限．

设f(x)在x=a的某邻域内可导，且f(a)≠0，a≠0，求极限．

已知{an}是单调增加且有界的正数列，证明：级数收敛．

设A是阶反对称阵，B是主对角元均大于零的n阶对角阵，证明：A+B是可逆阵．

已知A相似于B，即存在可逆阵P，使得P—1AP=B．求证：存在可逆阵Q，使得Q—1AQ=B的充分必要条件是存在与A可交换的可逆阵C，使得Q=CP．

设A是n阶方阵，证明：AnX=0和An+1X=0是同解方程组．

已知在微分方程y’+p(x)y=f(x)中，p(x)≥c＞0，且f(x)=0．试证：微分方程的通解当x→+∞时都趋于零．

已知A=有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2004．

袋中装有4枚正品均匀硬币，2枚次品均匀硬币，次品硬币的两面均印有国徽．在袋中任取一枚，将它投掷了3次，已知每次都得到国徽，求此硬币是正品的概率．

在数中求出最大值．

Earlychildhoodisatimeoftremendousgrowthacrossallareasofdevelopment,especiallythelanguageskills.Frombirthupt

公证活动应当遵循的核心原则是_______。

中国半殖民地半封建社会结束的标志是【】

在一个施工现场有甲、乙两个独立承包人同时施工，由于施工出现交叉干扰，致使甲、乙分别受到一定损失，总监理工程师向甲发出了暂停施工指令，则()

教育研究具有的特征是()。

DBMS中的查询处理器由DDL编译器、DML编译器、嵌入型DML预编译器及【】组成。

(1)打开表单one，向其中添加一个组合框(Combol)，并将其设置为下拉列表框。(2)在表单one中，通过RowSource和RowSourceType属性手1指定组合框Combol的显示条目为“上海”、“北京”(不要使用命令指定这两个属性)

Theirresponsibleteacherknewthestudentwascheatingbutdecidedtolook______.

Accordingtothepassage,whomightbeespeciallyinterestedinthenewprogram?

设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。