2. 考研
  3. 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2， 记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2， 记 若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。

admin2019-01-23  84
问题 设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，
记

若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22。
选项
答案设A=2ααT+ββT，由于|α|=1，α=ββTα=0，则 Aα=(2ααT+ββT)α=2α|α|2+ββTα=2α， 所以α为矩阵对应特征值λ1=2的特征向量； Aβ=(2ααT+ββT)β=2α|α|2+β|β|2=β， 所以β为矩阵对应特征值λ2=1的特征向量。 而矩阵A的秩 r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2， 所以λ3=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为212+y22。
解析
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考研数学三

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