设f=xTAx,g=xTBx是两个n元正定二次型,则下列未必是正定二次型的是( )

admin2020-03-24  46

问题 设f=xTAx,g=xTBx是两个n元正定二次型,则下列未必是正定二次型的是(    )

选项 A、xT(A+B)x。
B、xTA-1x。
C、xB-1x。
D、xTABx。

答案D

解析 因为f是正定二次型,A是n阶正定阵,所以A的n个特征值λ1,λ2,…,λn都大于零。设
Apjjpj,则A-1pj=pi,A-1的n个特征值(j=1,2,…,n)必都大于零,这说明A-1为正定阵,xTA-1x为正定二定型。
同理xTBx为正定二次型,对任意n维非零列向量x都有xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0,
这说明xT(A+B)x为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵,所以xTABx未必为正定二次型,故选D。
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