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设f=xTAx,g=xTBx是两个n元正定二次型,则下列未必是正定二次型的是( )
设f=xTAx,g=xTBx是两个n元正定二次型,则下列未必是正定二次型的是( )
admin
2020-03-24
44
问题
设f=x
T
Ax,g=x
T
Bx是两个n元正定二次型,则下列未必是正定二次型的是( )
选项
A、x
T
(A+B)x。
B、x
T
A
-1
x。
C、xB
-1
x。
D、x
T
ABx。
答案
D
解析
因为f是正定二次型,A是n阶正定阵,所以A的n个特征值λ
1
,λ
2
,…,λ
n
都大于零。设
Ap
j
=λ
j
p
j
,则A
-1
p
j
=
p
i
,A
-1
的n个特征值
(j=1,2,…,n)必都大于零,这说明A
-1
为正定阵,x
T
A
-1
x为正定二定型。
同理x
T
B
x为正定二次型,对任意n维非零列向量x都有x
T
(A+B)x=x
T
Ax+x
T
Bx>0,
这说明x
T
(A+B)x为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵,所以x
T
ABx未必为正定二次型,故选D。
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考研数学三
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