设a＞0，b＞0，a≠b，证明下列不等式： (Ⅰ)ap+bp＞21—p(a+b)p (p＞1)； (Ⅱ)ap+bp＜21—p(a+b)p (0＜p＜1)．

admin2018-11-21 38

问题设a＞0，b＞0，a≠b，证明下列不等式：
(Ⅰ)a^p+b^p＞2^1—p(a+b)^p (p＞1)；
(Ⅱ)a^p+b^p＜2^1—p(a+b)^p (0＜p＜1)．

选项

答案将a^p+b^p>2^1—p(a+b)^p改写成[*]．考察函数f(x)=x^p，x＞0，则 f’(x)=px^p—1，f"(x)=p(p一1)x^p—2． (Ⅰ)若p＞1，则f"(x)＞0 ([*]＞0)，f(x)在(0，+∞)为凹函数，由已知不等式(4．6)，其中t=[*]a＞0，b＞0，a≠6，有 [*](a^p+b^p)． (Ⅱ)若0＜p＜1，则f"(x)＜0 ([*]x＞0)，f(x)在(0，+∞)为凸函数，由不等式(4．7)，其中t=[*](a^p+b^p)．

解析

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考研数学一

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