设a>0,b>0,a≠b,证明下列不等式: (Ⅰ)ap+bp>21—p(a+b)p (p>1); (Ⅱ)ap+bp<21—p(a+b)p (0<p<1).

admin2018-11-21  33

问题 设a>0,b>0,a≠b,证明下列不等式:
  (Ⅰ)ap+bp>21—p(a+b)p  (p>1);
  (Ⅱ)ap+bp<21—p(a+b)p  (0<p<1).

选项

答案将ap+bp>21—p(a+b)p改写成[*].考察函数f(x)=xp,x>0,则 f’(x)=pxp—1,f"(x)=p(p一1)xp—2. (Ⅰ)若p>1,则f"(x)>0 ([*]>0),f(x)在(0,+∞)为凹函数,由已知不等式(4.6),其中t=[*]a>0,b>0,a≠6,有 [*](ap+bp). (Ⅱ)若0<p<1,则f"(x)<0 ([*]x>0),f(x)在(0,+∞)为凸函数,由不等式(4.7),其中t=[*](ap+bp).

解析
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