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设y=y(x)(x>0)是微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e-x的一个解,且=0, (Ⅰ)求y(x),并求y=y(x)到x轴的最大距离; (Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx。
设y=y(x)(x>0)是微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e-x的一个解,且=0, (Ⅰ)求y(x),并求y=y(x)到x轴的最大距离; (Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx。
admin
2021-01-31
62
问题
设y=y(x)(x>0)是微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e
-x
的一个解,且
=0,
(Ⅰ)求y(x),并求y=y(x)到x轴的最大距离;
(Ⅱ)计算∫
0
+∞
y(x)dx。
选项
答案
(Ⅰ)2y"+y’-y=(4-6x)e
-x
的特征方程为2λ
2
+λ-1=0,特征值为λ
1
=-1, λ
2
=1/2,则2y"+y’-y=0的通解为y=C
1
e
-x
+C
2
e
x/2
, 令2y"+y’-y=(4-6x)e
-x
的特解为y
0
=(ax
2
+bx)e
-x
,代入得a=1,b=0, 得原方程的通解为y=C
1
e
-x
+C
2
e
x/2
+x
2
e
-x
。 由[*]=0得y(0)=0,y’(0)=0,代入通解得C
1
=C
2
=0,故y=x
2
e
-x
, 由y’=(2x-x
2
)e
-x
=0得x=2, 当x∈(0,2)时,y’>0;当x>2时,y’<0,则x=2为y(x)的最大值点, 故最大距离为d
max
=y(2)=4e
-2
。 (Ⅱ)∫
0
+∞
y(x)dx=∫
0
+∞
x
2
e
x
dx=F(3)=2!=2。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/d4x4777K
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考研数学三
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