2. 考研
  3. 设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e-x的一个解，且=0， (Ⅰ)求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离； (Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx。

设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e-x的一个解，且=0， (Ⅰ)求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离； (Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx。

admin2021-01-31  58
问题 设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y"+y’-y=(4-6x)e-x的一个解，且=0，
    (Ⅰ)求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离；
    (Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx。
选项
答案(Ⅰ)2y"+y’-y=(4-6x)e-x的特征方程为2λ2+λ-1=0，特征值为λ1=-1， λ2=1/2，则2y"+y’-y=0的通解为y=C1e-x+C2ex/2， 令2y"+y’-y=(4-6x)e-x的特解为y0=(ax2+bx)e-x，代入得a=1，b=0， 得原方程的通解为y=C1e-x+C2ex/2+x2e-x。 由[*]=0得y(0)=0，y’(0)=0，代入通解得C1=C2=0，故y=x2e-x， 由y’=(2x-x2)e-x=0得x=2， 当x∈(0，2)时，y’＞0；当x＞2时，y’＜0，则x=2为y(x)的最大值点， 故最大距离为dmax=y(2)=4e-2。 (Ⅱ)∫0+∞y(x)dx=∫0+∞x2exdx=F(3)=2!=2。
解析
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考研数学三

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