2. 考研
  3. 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上服从均匀分布． (Ⅰ)问X与Y是否相互独立； (Ⅱ)求X与Y的相关系数．

设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上服从均匀分布． (Ⅰ)问X与Y是否相互独立； (Ⅱ)求X与Y的相关系数．

admin2018-06-14  51
问题 设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上服从均匀分布．
(Ⅰ)问X与Y是否相互独立；  
(Ⅱ)求X与Y的相关系数．
选项
答案依题意，(X，Y)的联合密度为 [*] (Ⅰ)为判断X与Y的相互独立性，先要计算边缘密度fX(x)与fY(y)． fX(x)=∫-∞+∞f(x，y)dy=[*] (｜x｜≤1)． 当｜x｜＞1时，fX(x)=0． 类似地，有 fY(y)=[*] 当x=y=0时，f(0，0)=[*]．显然它们不相等，因此随机变量X与Y不是相互独立的． 或fX(x)．fY(y)≠f(x，y)，故X与Y不相互独立． (Ⅱ)EX=∫-∞+∞xfX(x)dx=∫-11x[*]dx=0． 在这里，被积函数是奇函数，而积分区间[一1，1]又是关于原点对称的区间，故积分值为零．类似地，有 EY=0， E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x，y)dxdy =[*]=0． 故 Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0，ρXY=[*]=0．
解析
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考研数学三

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