设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜x2+y2≤1}上服从均匀分布． (Ⅰ)问X与Y是否相互独立； (Ⅱ)求X与Y的相关系数．

admin2018-06-14 63

问题设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)｜x²+y²≤1}上服从均匀分布．
(Ⅰ)问X与Y是否相互独立；
(Ⅱ)求X与Y的相关系数．

选项

答案依题意，(X，Y)的联合密度为 [*] (Ⅰ)为判断X与Y的相互独立性，先要计算边缘密度f_X(x)与f_Y(y)． f_X(x)=∫_-∞^+∞f(x，y)dy=[*] (｜x｜≤1)．当｜x｜＞1时，f_X(x)=0．类似地，有 f_Y(y)=[*] 当x=y=0时，f(0，0)=[*]．显然它们不相等，因此随机变量X与Y不是相互独立的．或f_X(x)．f_Y(y)≠f(x，y)，故X与Y不相互独立． (Ⅱ)EX=∫_-∞^+∞xf_X(x)dx=∫_-1¹x[*]dx=0．在这里，被积函数是奇函数，而积分区间[一1，1]又是关于原点对称的区间，故积分值为零．类似地，有 EY=0， E(XY)=∫_-∞^+∞∫_-∞^+∞xyf(x，y)dxdy =[*]=0．故 Cov(X，Y)=E(XY)一EXEY=0，ρ_XY=[*]=0．

解析

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考研数学三

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