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若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f’’(x)
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f’’(x)
admin
2014-02-05
49
问题
若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内具有二阶导数,f(0)=f(1)=0,f
’’
(x)<0,且f(x)在[0,1]上的最大值为M.求证:
极限
存在,若设
则f(x
0
)=M.
选项
答案
由极值的必要条件知,在函数f(x)的最大值点x=x
M
处必有f
’
(x
M
)=0.于是,由f
’
(x)在(0,1)内单调减少,从[*]可得f
’
(x
M
)<…
’(x
n+1
)
’(x
n
)<…
’(x
1
)[*]x
M
>…>x
n+1
>x
n
>…>x
1
,这表明数列{x
n
}单调递增且有上界,故极限[*]存在,记[*],利用导函数f
’
(x)的连续性即得[*]再由f
’
(x)在(0,1)内单调减少即知x
0
=x
M
,故f(x
0
)=M.
解析
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考研数学二
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