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  3. 若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)

若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)

admin2014-02-05  52
问题 若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)<0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：
极限存在，若设则f(x0)=M．
选项
答案由极值的必要条件知，在函数f(x)的最大值点x=xM处必有f’(xM)=0．于是，由f’(x)在(0，1)内单调减少，从[*]可得f’(xM)<…’(xn+1)’(xn)<…’(x1)[*]xM>…>xn+1>xn>…>x1，这表明数列{xn}单调递增且有上界，故极限[*]存在，记[*]，利用导函数f’(x)的连续性即得[*]再由f’(x)在(0，1)内单调减少即知x0=xM，故f(x0)=M．
解析
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考研数学二

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