若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)

admin2014-02-05 29

问题若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f^’’(x)<0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：
极限

存在，若设

则f(x₀)=M．

选项

答案由极值的必要条件知，在函数f(x)的最大值点x=x_M处必有f^’(x_M)=0．于是，由f^’(x)在(0，1)内单调减少，从[*]可得f^’(x_M)<…’(x_n+1)’(x_n)<…’(x₁)[*]x_M>…>x_n+1>x_n>…>x₁，这表明数列{x_n}单调递增且有上界，故极限[*]存在，记[*]，利用导函数f^’(x)的连续性即得[*]再由f^’(x)在(0，1)内单调减少即知x₀=x_M，故f(x₀)=M．

解析

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