设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E，且｜A｜=4，则二次型xTAx的规范形为( )．

admin2022-09-22 24

问题设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A²+A=2E，且｜A｜=4，则二次型x^TAx的规范形为( )．

选项 A、y₁²+y₂²+y₃²
B、y₁²+y₂²-y₃²
C、y₁²-y₂²-y₃²
D、-y₁²-y₂²-y₃²

答案C

解析设λ为A的特征值，由A²+A=2E得λ²+λ=2，
解得λ=-2或1，所以A的特征值是1或-2．
又因为｜A｜=4，所以A的三个特征值为1，-2，-2，所以二次型x^TAx的
规范形为y₁²-y₂²-y₃²，故选C项．

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