设f(x)在[0,2]上的二阶导数连续,在(0,2)内取得最小值,且|f”(x)|≤a,证明:|f’(0)|+|f’(2)|≤2a.

admin2022-06-04  32

问题 设f(x)在[0,2]上的二阶导数连续,在(0,2)内取得最小值,且|f”(x)|≤a,证明:|f’(0)|+|f’(2)|≤2a.

选项

答案设f(x)在(0,2)内的一点c处取得最小值,则f’(C)=0,由拉格朗日中值定理,得 f’(C)-f’(0)=f”(ξ1)(c-0),0<ξ1<c f’(2)-f’(C)=f”(ξ2)(2-c),c<ξ2<2 即f’(0)=-cf”(ξ1),f’(2)=f”(ξ2)(2-c). 从而有 |f’(0)|+|f’(2)|=c|f”(ξ1)|+(2-c)|f”(ξ2)|≤ca+(2-c)a=2a

解析
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