设f(x)在[0，2]上的二阶导数连续，在(0，2)内取得最小值，且｜f”(x)｜≤a，证明：｜f’(0)｜+｜f’(2)｜≤2a．

admin2022-06-04 49

问题设f(x)在[0，2]上的二阶导数连续，在(0，2)内取得最小值，且｜f”(x)｜≤a，证明：｜f’(0)｜+｜f’(2)｜≤2a．

选项

答案设f(x)在(0，2)内的一点c处取得最小值，则f’(C)=0，由拉格朗日中值定理，得 f’(C)-f’(0)=f”(ξ₁)(c-0)，0＜ξ₁＜c f’(2)-f’(C)=f”(ξ₂)(2-c)，c＜ξ₂＜2 即f’(0)=-cf”(ξ₁)，f’(2)=f”(ξ₂)(2-c)．从而有｜f’(0)｜+｜f’(2)｜=c｜f”(ξ₁)｜+(2-c)｜f”(ξ₂)｜≤ca+(2-c)a=2a

解析

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