(Ⅰ)设f(x1，x2，x3)一x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵； (Ⅱ)设求可逆矩阵D，使A=DTD．

admin2020-01-15 65

问题 (Ⅰ)设f(x₁，x₂，x₃)一x₁²+2x₂²+6x₃²一2x₁x₂+2x₁x₃—6x₂x₃，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵；
(Ⅱ)设

求可逆矩阵D，使A=D^TD．

选项

答案(1)将f(x₁，x₂，x₃)用配方法化为标准形，得 f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+2x₂²+6x₂³一2x₁x₂+2x₁x₃一6x₂x₃一(x₁－x₂+x₃)²+x₂²+5x₂³一4x₂x₃ =(x₁－x₂+x₃)²+(x₂—2x₃)²+x₂³．得厂的标准形为f(x₁，x₂，x₃)=y₁²+y₂²+y₃²．[*] 所作的可逆线性变换为x=Cy，其中C=[*] A对应的二次型的规范形为y₁²+y₂²+y₃²，正惯性指数P=3=r(A)，故知A是正定矩阵(也可用定义证明，或用顺序主子式全部大于零证明A是正定矩阵)． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，[*]是f(x₁，x₂，x₃)的对应矩阵，即 f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx．令x=Cy，其中[*]，得f=x^TAx=y^TC^TACy=y^TEy，故C^TAC=E，A=(C^－1)^TC^－1=D^TD，其中D=C^－1． [*]

解析

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考研数学一

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(Ⅰ)设f(x1，x2，x3)一x12+2x22+6x32一2x1x2+2x1x3—6x2x3，用可逆线性变换将f化为规范形，并求出所作的可逆线性变换．并说明二次型的对应矩阵A是正定矩阵； (Ⅱ)设求可逆矩阵D，使A=DTD．

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设f(x)在(－∞，＋∞)内连续且严格单调增加，f(0)＝0，常数n为正奇数．并设．则正确的是()

设总体X的概率密度为其中θ＞0为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的一个简单随机样本，求θ的矩估计量及最大似然估计量．

直线L：，在yOz平面上的投影直线l绕z轴旋转一周生成的旋转曲面的方程为_________．

若(X，Y)服从二维正态分布N(1，2；1，4．0．5)，则＝__________

设A＝,B＝(E－A)(E＋A)－1，则(B＋E)－1＝_________．

设A，B，C，D是四个4阶矩阵，其中A，D为非零矩阵，B，C可逆，且满足ABCD＝O，若r(A)＋r(B)＋r(C)＋r(D)＝r，则r的取值范围是()

设y=f(x)二阶可导，f’(x)≠0，它的反函数是x=φ(y)，又f(0)=1，f’(0)=，f’’(0)=-1，则=______．[img][/img]

设离散型二维随机变量(X，Y)的取值为(xi，yj)(i，j=1，2)，且P{X=x2}=，P{Y=y1｜X=x2}=，P{X=x1｜Y=y1}=，试求：[img][/img]条件概率P{Y=yj｜X=x1}，j=1，2．

设函数f(x)连续，除个别点外二阶可导，其导函数y=f’(x)的图像如右图(1)，令函数y=f(x)的驻点的个数为p，极值点的个数为q，曲线y=f(x)拐点的个数为r，则

设A，B为随机事件，P(A)＞0，则P(B|A)=1不等价于()

美国杜邦公司推出的每种新开发的化工产品，均先用高价销售，直到竞争对手也提供相同的产品后，才将价格降低。这种新产品定价策略属于()

生态学是研究生物与______之间的科学。

伤寒肠道病变最常见且最明显的部位是

肾素是肾脏产生的内分泌激素之一，绝大部分由下列哪个部位产生

液体和固体消毒剂浓度均不能用的表述方法是

A、只可从事某些预防、保健业务工作B、只可从事简单的医疗业务工作C、方可以从事相应的医疗、预防、保健业务D、不得进行医师执业活动E、经考核合格可以重新申请医师执业注册未经医师注册、未取得医师执业证书的

证券公司经营证券经纪业务、证券资产管理业务、融资融券业务和证券承销与保荐业务中两种以上业务的，其董事会应当设(　　)，行使公司章程规定的职权。

没有定义语句intx[6]={2,4,6,8,5,7},*p=x,i;要求依次输出x数组6个元素中的值，不能完成此操作的语句是

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