设A，B是n阶可逆矩阵，且A～B，则 ①A－1～B－1； ②AT～BT； ③A～B； ④AB～BA．其中正确的个数是 ( )

admin2019-07-28 67

问题设A，B是n阶可逆矩阵，且A～B，则
①A^－1～B^－1；
②A^T～B^T；
③A^*～B^*；
④AB～BA．
其中正确的个数是 ( )

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析由A～B，有｜A｜=｜B｜，且存在可逆矩阵P，使
P^－1AP=B， (*)
(*)式两边求逆得
P^－1A^－1P=B^－1， (**)
从而A^－1～B^－1(①成立)．
(*)式两边转置，得P^TA^T(P^－1)^T=B^T，记(P^－1)^T=Q，P^T=Q^－1，即Q^－1A^TQ=B^T．
从而A^T～B^T(②成立)．
(**)式两边乘｜A｜，P^－1｜A｜A^－1P=P^－1A^*P=｜B｜B^－1=B^*，从而A^*～B^*(③成立)．
因A可逆，故BA=EBA==A^－1ABA=A^－1(AB)A，即AB～BA(④成立)．
故应选(D)．

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