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设A,B是n阶可逆矩阵,且A~B,则 ①A-1~B-1; ②AT~BT; ③A*~B*; ④AB~BA. 其中正确的个数是 ( )
设A,B是n阶可逆矩阵,且A~B,则 ①A-1~B-1; ②AT~BT; ③A*~B*; ④AB~BA. 其中正确的个数是 ( )
admin
2019-07-28
74
问题
设A,B是n阶可逆矩阵,且A~B,则
①A
-1
~B
-1
;
②A
T
~B
T
;
③A
*
~B
*
;
④AB~BA.
其中正确的个数是 ( )
选项
A、1
B、2
C、3
D、4
答案
D
解析
由A~B,有|A|=|B|,且存在可逆矩阵P,使
P
-1
AP=B, (*)
(*)式两边求逆得
P
-1
A
-1
P=B
-1
, (**)
从而A
-1
~B
-1
(①成立).
(*)式两边转置,得P
T
A
T
(P
-1
)
T
=B
T
,记(P
-1
)
T
=Q,P
T
=Q
-1
,即Q
-1
A
T
Q=B
T
.
从而A
T
~B
T
(②成立).
(**)式两边乘|A|,P
-1
|A|A
-1
P=P
-1
A
*
P=|B|B
-1
=B
*
,从而A
*
~B
*
(③成立).
因A可逆,故BA=EBA==A
-1
ABA=A
-1
(AB)A,即AB~BA(④成立).
故应选(D).
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WXN4777K
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考研数学二
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