设f(x)在[0,1]二阶可导,|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f"(x)|≤b,a,b为非负数,求证: c∈(0,1),有 |f’(c)|≤2a+b.

admin2018-11-21  15

问题 设f(x)在[0,1]二阶可导,|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f"(x)|≤b,a,b为非负数,求证:
c∈(0,1),有
    |f’(c)|≤2a+b.

选项

答案考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式:[*]c∈(0,1),有 f(x)=f(c)+f’(c)(x—c)+[*]f"(ξ)(x一c)2, (*) 其中ξ=c+θ(x一c),0<θ<1. 在(*)式中,令x=0,得 f(0)=f(c)+f’(c)(一c)+[*]f"(ξ1)c2,0<ξ1<c<1; 在(*)式中,令x=1,得 f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+[*]f"(ξ2)(1一c)2,0<c<ξ2<1. 上面两式相减得 f(1)一f(0)=f’(c)+[*][f"(ξ2)(1一c)2一f"(ξ1)c2]. 从而f’(c)=f(1)—f(0)+[*][f"(ξ1)c2一f"(ξ2)(1一c)2],两端取绝对值并放大即得 |f’(c)|≤2a+[*]b[(1一c)2+c2]≤2a+[*]b(1一c+c)=2a+[*]b. 其中利用了对任何c∈(0,1)有(1一c)2≤1一c,c2≤c,于是(1一c)2+c2≤1.

解析 证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时,常常需要利用函数在某点的泰勒展开式.本题涉及证明|f’(c)|≤2a+,自然联想到将f(x)在点x=c处展开.
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