首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设f(x)在[0,1]二阶可导,|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f"(x)|≤b,a,b为非负数,求证: c∈(0,1),有 |f’(c)|≤2a+b.
设f(x)在[0,1]二阶可导,|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f"(x)|≤b,a,b为非负数,求证: c∈(0,1),有 |f’(c)|≤2a+b.
admin
2018-11-21
32
问题
设f(x)在[0,1]二阶可导,|f(0)|≤a,|f(1)|≤a,|f"(x)|≤b,a,b为非负数,求证:
c∈(0,1),有
|f’(c)|≤2a+
b.
选项
答案
考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式:[*]c∈(0,1),有 f(x)=f(c)+f’(c)(x—c)+[*]f"(ξ)(x一c)
2
, (*) 其中ξ=c+θ(x一c),0<θ<1. 在(*)式中,令x=0,得 f(0)=f(c)+f’(c)(一c)+[*]f"(ξ
1
)c
2
,0<ξ
1
<c<1; 在(*)式中,令x=1,得 f(1)=f(c)+f’(c)(1一c)+[*]f"(ξ
2
)(1一c)
2
,0<c<ξ
2
<1. 上面两式相减得 f(1)一f(0)=f’(c)+[*][f"(ξ
2
)(1一c)
2
一f"(ξ
1
)c
2
]. 从而f’(c)=f(1)—f(0)+[*][f"(ξ
1
)c
2
一f"(ξ
2
)(1一c)
2
],两端取绝对值并放大即得 |f’(c)|≤2a+[*]b[(1一c)
2
+c
2
]≤2a+[*]b(1一c+c)=2a+[*]b. 其中利用了对任何c∈(0,1)有(1一c)
2
≤1一c,c
2
≤c,于是(1一c)
2
+c
2
≤1.
解析
证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时,常常需要利用函数在某点的泰勒展开式.本题涉及证明|f’(c)|≤2a+
,自然联想到将f(x)在点x=c处展开.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/dZg4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设X和Y为独立的随机变量,X在区间[0,1]上服从均匀分布,Y的概率密度函数为求随机变量Z=X+Y的分布函数Fz(z).
计算曲面积分xz2dydz+x2ydzdx+y2zdxdy,其中S是球面x2+y2+z2=a2的上半部分与平面z=0所围成的闭曲面外侧.
设x~N(1,σ2),Y~N(2,σ2),且相互独立,Z=X—Y,则P(Z>0)的值().
设平面π的方程为2x—y+z一2=0,直线l的方程为则π与l的位置关系是__________.
设X1,X2,…,Xn+1是来自正态分布N(μ,σ2)的简单随机样本,设已知T=k~t(m),则k,m的值分别为().
设在全平面上有>0,则下列条件中能保证f(x1,y1)<f(x2,y2)的是().
曲面z—y—lnx+lnz=0与平面x+y一2z=1垂直的法线方程为__________.
设A是n阶矩阵,若存在正整数k,使线性方程组Akx=0有解向量α,且Ak-1α≠0。证明:向量组α,Aα,…,Ak-1α是线性无关的。
计算二重积分,其中D={(x,y)|0≤y≤1,
求极限
随机试题
集体合同的时间效力的表现形式有()
下列关于NHL的病理类型中,哪些属于中度恶性?
(2007年第75题)下列属于退行性变的疾病是
下列行为中,属于无效民事行为的有()。
人们常说“教学有法,教无定法”,此话反映了教师劳动的()。(2014·河南)
Wherearetheynow?
Electronicmailhasbecomeanextremelyimportantandpopularmeansofcommunication.Theconvenienceandefficiencyofelec
JudgingbythewildlycheeringaudienceattheorgyofconsumerismthatwasOprahWinfrey’s"UltimateFavouriteThings"show,A
A、Theykeepallthepropertyoftheorganization.B、Theyareresponsibleformostofthebusinessdebts.C、Theytakemorerespon
Postgraduatedilemmas[A]Decidingwhetherornottobecomeapostgraduatecanbeadaunting(令人畏缩的)prospect.Evenifyouaresure
最新回复
(
0
)