计算sin(x-y)｜dxdy，其中D：0≤x≤y≤2π．

admin2018-06-27 37

问题计算

sin(x-y)｜dxdy，其中D：0≤x≤y≤2π．

选项

答案(分块积分法) D如图8．6-(a)，被积函数分块表示，要分块积分，将D分成D=D₁∪D₂，以y-x=π为分界线(如图8．6-(b))． [*] 在D₁上，π≤y-x≤2π；在D₂上，0≤y-x≤π，则 [*] 在D₂上边界分段表示(如图8．6-(c))，也要分块积分 [*]I=-∫₀^πdx∫_x+π^2πsin(y-x)dy+∫₀^πdx∫_x^x+πsin(y-x)dy+∫_π^2πdx∫_x^2πsin(y-x)dy =∫₀^πcos(y-x)｜_y=1+π^2πdx- ∫₀^πcos(y-x)∫_y=x^x+πdx-∫_π^2πcos(y-x)｜_y=x^2πdx =∫₀^π(cosx+1)dx+∫₀^π2dx-∫_π^2π(cosx-1)dx=4π． [*]

解析

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