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设PQ为抛物线yx2/4的弦,它在此抛物线过P点的法线上,求PQ长度的最小值.
设PQ为抛物线yx2/4的弦,它在此抛物线过P点的法线上,求PQ长度的最小值.
admin
2021-10-18
27
问题
设PQ为抛物线yx
2
/4的弦,它在此抛物线过P点的法线上,求PQ长度的最小值.
选项
答案
令P(a,a
2
/4),因为y=x
2
/4关于y轴对称,不妨设a>0.y’(a)=a/2,过P点的法线方程为.y-a
2
/4=-2/a(x-a),设Q(b,b
2
/4),因为Q在法线上,所以b
2
/4-a
2
/4=-2/a(b-a),解得b=-a-8/a.PQ的长度的平方为L(a)=(b-a)
2
+[1/4(b
2
-a
2
)]
2
=4a
2
(1+4/a
2
)
3
.由L’(a)=8a(1+4/a
2
)
2
(1-8/a
2
)=0得[*]为唯一驻点,从而为最小值点,故PQ的最小距离为[*]
解析
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考研数学二
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