已知A=,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2. 求正交变换x=Qy将f化为标准形.

admin2018-08-03  27

问题 已知A=,二次型f(x1,x2,x3)=xT(ATA)x的秩为2.
求正交变换x=Qy将f化为标准形.

选项

答案由于a=一1,所以ATA=[*].矩阵ATA的特征多项式为 [*] =(λ一2)(λ2一6λ)=λ(λ一2)(λ一6) 于是得ATA的特征值为λ1=2,λ2=6,λ3=0. 对于λ1=2,由求方程组(2E—ATA)x=0的一个非零解, 可得属于λ1=2的一个单位特征向量[*](1,一1,0)T; 对于λ2=6,由求方程组(6E—ATA)x=0的一个非零解, 可得属于λ2=6的一个单位特征向量[*](1,1,2)T; 对于λ3=0,由求方程组(ATA)x=0的一个非零解, 可得属于λ3=0的一个单位特征向量[*](1,1,一1)T. 令矩阵Q=[*], 则f在正交变换x=Qy下的标准形为f=2y12+6y22

解析
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