(Ⅰ)求级数的收敛域； (Ⅱ)求证：和函数S(x)=定义于[0，+∞)且有界．

admin2020-04-22 14

问题 (Ⅰ)求级数

的收敛域；
(Ⅱ)求证：和函数S(x)=

定义于[0，+∞)且有界．

选项

答案(Ⅰ)令[*]，问题转化为求幂级数[*]的收敛域．先求收敛区间，再考察收敛区间的端点．求解如下：令t=[*]，我们考察幂级数[*]a_ntⁿ，其中a_n=[*]．由 [*] (Ⅱ)为证当x∈[0，+∞)时级数[*]收敛，且和函数S(x)在[0，+∞)有界，自然的想法是给出级数一般项的估计0≤[*]≤M_n(x∈[0，+∞))，只要[*]收敛就可得出结论．为了在[0，+∞)上估计[*]，我们求f(x)=x²e^－nx在[0，+∞)上的最大值：由 [*] 因为[*]收敛，所以[*]在[0，+∞)收敛，且S(x)在[0，∞)上有界．

解析

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