(Ⅰ)求级数的收敛域; (Ⅱ)求证:和函数S(x)=定义于[0,+∞)且有界.

admin2020-04-22  10

问题 (Ⅰ)求级数的收敛域;
    (Ⅱ)求证:和函数S(x)=定义于[0,+∞)且有界.

选项

答案(Ⅰ)令[*],问题转化为求幂级数[*]的收敛域.先求收敛区间,再考察收敛区间的端点.求解如下: 令t=[*],我们考察幂级数[*]antn,其中an=[*].由 [*] (Ⅱ)为证当x∈[0,+∞)时级数[*]收敛,且和函数S(x)在[0,+∞)有界,自然的想法是给出级数一般项的估计0≤[*]≤Mn(x∈[0,+∞)),只要[*]收敛就可得出结论. 为了在[0,+∞)上估计[*],我们求f(x)=x2e-nx在[0,+∞)上的最大值:由 [*] 因为[*]收敛,所以[*]在[0,+∞)收敛,且S(x)在[0,∞)上有界.

解析
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