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设α,β都是n维列向量时,证明 ①αβT的特征值为0,0,…,0,βTα. ②如果α不是零向量,则α是αβT的特征向量,特征值为βTα.
设α,β都是n维列向量时,证明 ①αβT的特征值为0,0,…,0,βTα. ②如果α不是零向量,则α是αβT的特征向量,特征值为βTα.
admin
2018-06-27
32
问题
设α,β都是n维列向量时,证明
①αβ
T
的特征值为0,0,…,0,β
T
α.
②如果α不是零向量,则α是αβ
T
的特征向量,特征值为β
T
α.
选项
答案
①方法一 用上例的结论.r(αβ
T
)≤1,因此αβ
T
的特征值为0,0,…,0,tr(αβ
T
). 设α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
,β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
,则αβ
T
的对角线元素为a
1
b
1
,a
2
b
2
,…,a
n
b
n
,于是 tr(αβ
T
)=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
=β
T
α. 方法二 记A=αβ
T
,则A
2
=αβ
T
αβ
T
=(β
T
α)A,于是根据定理5.2的推论,A的特征值都满足等式λ
2
=(β
T
α)A,即只可能是0和β
T
α. 如果β
T
α=0,则A的特征值都是0. 如果β
T
α≠0,则根据定理5.3的②,A的所有特征值之和为tr(A)=β
T
α,它们一定是n-1个为0,一个为β
T
α. ②仍记A=αβ
T
,则Aα=αβ
T
α=(β
T
α)α,因此则α是A的特征向量,特征值为β
T
α.
解析
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考研数学二
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