设m×n矩阵A的秩r(A)=m＜n，E为m阶单位阵，则

admin2018-07-31 55

问题设m×n矩阵A的秩r(A)=m＜n，E为m阶单位阵，则

选项 A、A的任意m个向量必线性无关．
B、A的任意一个m阶子式都不为0．
C、若BA=O，则B=O．
D、经初等行变换，可将A化为(E_m｜O)的形式．

答案C

解析由BA=O知A的每个列向量均为齐次线性方程组Bx=0的解向量，因r(A)=m，知A的列向量组的极大无关组含m个向量，故方程组Bx=0的基础解系至少含m个解向量，即m一r(B)≥m，→r(B)≤0，→r(B)=0，→B=O．故(B)正确．注意当r(A)=m＜n时，要将A化为标准形，仅仅通过初等行变换是不行的，还要对A作初等列变换，才能化成标准形，故(D)不对。

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考研数学一

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[*]
设A为m×n阶实矩阵，且r(A)=n．证明：ATA的特征值全大于零．
设随机变量X～U[一1，1]，则随机变量U=arcsinX，V=arccosX的相关系数为()．
设a是n维单位列向量，A=E一ααT．证明：r(A)＜n．
二阶常系数非齐次线性微分方程y"一2y’一3y=(2x+1)e-x的特解形式为()．
设A=有四个线性无关的特征向量，求A的特征值与特征向量，并求A2010．
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