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  3. 微分方程y’’+4y=cos2x的通解为y=______．

微分方程y’’+4y=cos2x的通解为y=______．

admin2017-11-23  56
问题 微分方程y’’+4y=cos2x的通解为y=______．
选项
答案[*]sin2x+C1cos2x+C2sin2x．
解析 y’’+4y=cos2x对应的齐次方程的特征方程是r2+4=0．
    它的两个特征根为r1，2=±2i．因此对应的齐次方程的通解为Y=C1cos2x+C2sin2x．
    A±ωi=±2i是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解为
    y*=x(Acos2x+Bsin2x)，
    则    (y*)’=x(一2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，
    (y*)’’=一x(4Acos2x+4Bsin2x)一4Asin2x+4Bcos2x．
    将上两式代入方程y’’+4y=cos2x中，得一4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．
    比较上式系数得A=0，
．
    故原方程的通解为y=sin2x+C1cos2x+C2sin2x．
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