微分方程y’’+4y=cos2x的通解为y=______．

admin2017-11-23 44

问题微分方程y’’+4y=cos2x的通解为y=______．

选项

答案[*]sin2x+C₁cos2x+C₂sin2x．

解析 y’’+4y=cos2x对应的齐次方程的特征方程是r²+4=0．
它的两个特征根为r_1，2=±2i．因此对应的齐次方程的通解为Y=C₁cos2x+C₂sin2x．
A±ωi=±2i是特征方程的根，所以，设非齐次方程的特解为
y^*=x(Acos2x+Bsin2x)，
则 (y^*)’=x(一2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x，
(y^*)’’=一x(4Acos2x+4Bsin2x)一4Asin2x+4Bcos2x．
将上两式代入方程y’’+4y=cos2x中，得一4Asin2x+4Bcos2x=cos2x．
比较上式系数得A=0，

．
故原方程的通解为y=

sin2x+C₁cos2x+C₂sin2x．

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