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微分方程y’’+4y=cos2x的通解为y=______.
微分方程y’’+4y=cos2x的通解为y=______.
admin
2017-11-23
60
问题
微分方程y’’+4y=cos2x的通解为y=______.
选项
答案
[*]sin2x+C
1
cos2x+C
2
sin2x.
解析
y’’+4y=cos2x对应的齐次方程的特征方程是r
2
+4=0.
它的两个特征根为r
1,2
=±2i.因此对应的齐次方程的通解为Y=C
1
cos2x+C
2
sin2x.
A±ωi=±2i是特征方程的根,所以,设非齐次方程的特解为
y
*
=x(Acos2x+Bsin2x),
则 (y
*
)’=x(一2Asin2x+2Bcos2x)+Acos2x+Bsin2x,
(y
*
)’’=一x(4Acos2x+4Bsin2x)一4Asin2x+4Bcos2x.
将上两式代入方程y’’+4y=cos2x中,得一4Asin2x+4Bcos2x=cos2x.
比较上式系数得A=0,
.
故原方程的通解为y=
sin2x+C
1
cos2x+C
2
sin2x.
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考研数学一
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