设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e－4χ＋χ2＋3χ＋2，则Q(χ)＝_，该微分方程的通解为_．

admin2019-08-23 75

问题设二阶常系数非齐次线性微分方程y〞＋y′＋qy＝Q(χ)有特解y＝3e^－4χ＋χ²＋3χ＋2，则Q(χ)＝_______，该微分方程的通解为_______．

选项

答案－12χ²－34χ－19；y＝C₁e^－4χ＋C₂e^3χ＋χ²＋3χ＋2(其中C₁，C₂为任意常数)

解析显然λ＝－4是特征方程λ²＋λ＋q＝0的解，故q＝－12，
即特征方程为λ²＋λ－12＝0，特征值为λ₁＝－4，λ₂＝3．
因为χ²＋3χ＋2为特征方程y〞＋y′－12y＝Q(χ)的一个特解，
所以Q(χ)＝2＋2χ＋3－12(χ²＋3χ＋2)＝12χ²－34χ－19，
且通解为y＝C₁e^－4χ＋C₂e^3χ＋χ²＋3χ＋2(其中C₁，C₂为任意常数)．

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