2. 考研
  3. 设f(u)在区间[－1，1]上连续，且∫－11f(u)du＝A．求二重积分I＝f(x﹢y)dxdg的值．

设f(u)在区间[－1，1]上连续，且∫－11f(u)du＝A．求二重积分I＝f(x﹢y)dxdg的值．

admin2018-12-21  86
问题 设f(u)在区间[－1，1]上连续，且∫－11f(u)du＝A．求二重积分I＝f(x﹢y)dxdg的值．
选项
答案先画出积分区域D={(x，y)｜｜x｜﹢｜y｜≤1)，如图(a)所示． I＝[*]f(x﹢y)dxdy＝∫－10dx∫－1－x1﹢xf(x﹢y)dy﹢∫01dx∫－1﹢x1－xf(x﹢y)≥dy． 对于 I1＝∫－10dx∫－1－x1﹢xf(x﹢y)dy的内层，对y的积分作积分变量代换，令u＝x﹢y．当y＝－1－x时，u＝－1；当y＝1﹢x时，u＝1﹢2x．于是I1＝∫－10dx∫－1－x1﹢xf(x﹢y)dy＝∫－10dx∫－11﹢2xf(u)du． 再交换x与u的积分次序(如图(b))，得I1＝∫－10du[*]f(u)dx＝－∫－10[*]f(u)du． 类似地，I2＝∫01dx∫－1﹢x1－xf(x﹢y)dy[*]∫01dx∫－1﹢2x1f(u)du＝∫－11du[*]f(u)dx＝∫－11[*]f(u)du． 从而I＝I1﹢I2＝∫－11f(u)du＝A． [*]
解析
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考研数学二

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