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设f(u)在区间[-1,1]上连续,且∫-11f(u)du=A.求二重积分I=f(x﹢y)dxdg的值.
设f(u)在区间[-1,1]上连续,且∫-11f(u)du=A.求二重积分I=f(x﹢y)dxdg的值.
admin
2018-12-21
78
问题
设f(u)在区间[-1,1]上连续,且∫
-1
1
f(u)du=A.求二重积分I=
f(x﹢y)dxdg的值.
选项
答案
先画出积分区域D={(x,y)||x|﹢|y|≤1),如图(a)所示. I=[*]f(x﹢y)dxdy=∫
-1
0
dx∫
-1-x
1﹢x
f(x﹢y)dy﹢∫
0
1
dx∫
-1﹢x
1-x
f(x﹢y)≥dy. 对于 I
1
=∫
-1
0
dx∫
-1-x
1﹢x
f(x﹢y)dy的内层,对y的积分作积分变量代换,令u=x﹢y.当y=-1-x时,u=-1;当y=1﹢x时,u=1﹢2x.于是I
1
=∫
-1
0
dx∫
-1-x
1﹢x
f(x﹢y)dy=∫
-1
0
dx∫
-1
1﹢2x
f(u)du. 再交换x与u的积分次序(如图(b)),得I
1
=∫
-1
0
du[*]f(u)dx=-∫
-1
0
[*]f(u)du. 类似地,I
2
=∫
0
1
dx∫
-1﹢x
1-x
f(x﹢y)dy[*]∫
0
1
dx∫
-1﹢2x
1
f(u)du=∫
-1
1
du[*]f(u)dx=∫
-1
1
[*]f(u)du. 从而I=I
1
﹢I
2
=∫
-1
1
f(u)du=A. [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/hAj4777K
0
考研数学二
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