2. 考研
  3. 设f(χ)在[0，1]上连续，且满足f(0)＝1，f′(χ)＝f(χ)＋aχ－a，求f(χ)，并求a的值，使曲线y＝f(χ)与χ＝0，yχ0，χ＝1所围平面图形绕χ轴旋转一周所得体积最小．

设f(χ)在[0，1]上连续，且满足f(0)＝1，f′(χ)＝f(χ)＋aχ－a，求f(χ)，并求a的值，使曲线y＝f(χ)与χ＝0，yχ0，χ＝1所围平面图形绕χ轴旋转一周所得体积最小．

admin2017-11-09  60
问题 设f(χ)在[0，1]上连续，且满足f(0)＝1，f′(χ)＝f(χ)＋aχ－a，求f(χ)，并求a的值，使曲线y＝f(χ)与χ＝0，yχ0，χ＝1所围平面图形绕χ轴旋转一周所得体积最小．
选项
答案方程f(χ)＝f(χ)＋aχ－a可以改写为 f′(χ)－f(χ)＝aχ－a． 则f(χ)＝e∫1dχ[∫e－∫1dχ(aχ－a)dχ＋C]＝eχ[∫e－χ(aχ－a)dχ＋C] ＝eχ(－aχe－χ＋C)＝Ceχ－aχ． 由f(0)＝1得C＝1，所以f(χ)＝eχ－aχ． 旋转体的体积为 Vχ(a)＝π∫01(eχ－aχ)2dχ＝π∫01(e2χ－2aχeχ＋a2χ2)dχ ＝π[[*]a2－2a＋[*](e2－1)]． V′χ＝π([*]a－2)＝0，解得驻点a＝3． 又V〞χ(3)＝[*]＞0，知当a＝3时，Vχ取得最小值． 即a＝3时，所求旋转体体积最小，此时f(χ)＝eχ－3χ．
解析
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考研数学三

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