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设f(χ)在[0,1]上连续,且满足f(0)=1,f′(χ)=f(χ)+aχ-a,求f(χ),并求a的值,使曲线y=f(χ)与χ=0,yχ0,χ=1所围平面图形绕χ轴旋转一周所得体积最小.
设f(χ)在[0,1]上连续,且满足f(0)=1,f′(χ)=f(χ)+aχ-a,求f(χ),并求a的值,使曲线y=f(χ)与χ=0,yχ0,χ=1所围平面图形绕χ轴旋转一周所得体积最小.
admin
2017-11-09
60
问题
设f(χ)在[0,1]上连续,且满足f(0)=1,f′(χ)=f(χ)+aχ-a,求f(χ),并求a的值,使曲线y=f(χ)与χ=0,yχ0,χ=1所围平面图形绕χ轴旋转一周所得体积最小.
选项
答案
方程f(χ)=f(χ)+aχ-a可以改写为 f′(χ)-f(χ)=aχ-a. 则f(χ)=e
∫1dχ
[∫e
-∫1dχ
(aχ-a)dχ+C]=e
χ
[∫e
-χ
(aχ-a)dχ+C] =e
χ
(-aχe
-χ
+C)=Ce
χ
-aχ. 由f(0)=1得C=1,所以f(χ)=e
χ
-aχ. 旋转体的体积为 V
χ
(a)=π∫
0
1
(e
χ
-aχ)
2
dχ=π∫
0
1
(e
2χ
-2aχe
χ
+a
2
χ
2
)dχ =π[[*]a
2
-2a+[*](e
2
-1)]. V′
χ
=π([*]a-2)=0,解得驻点a=3. 又V〞
χ
(3)=[*]>0,知当a=3时,V
χ
取得最小值. 即a=3时,所求旋转体体积最小,此时f(χ)=e
χ
-3χ.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eBX4777K
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考研数学三
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