已知P-1AP=，α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )

admin2020-03-24 92

问题已知P^-1AP=

，α₁是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α₂与α₃是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量，那么矩阵P不能是( )

选项 A、(α₁，一α₂，α₃)。
B、(α₁，α₂+α₃，α₂—2α₃)。
C、(α₁，α₃，α₂)。
D、(α₁+α₂，α₁一α₂，α₃)。

答案D

解析若P^-1AP=Λ=

，P=(α₁，α₂，α₃)，则有AP=PΛ，即
(Aα₁，Aα₂，Aα₃)=(λ₁α₁，λ₂α₂，λ₃α₃)，可见α_i是矩阵A属于特征值λ_i(i=1，2，3)的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α₁，α₂，α₃线性无关。
若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故A选项正确。
若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中，α₂，α₃是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α₂+α₃，α₂一2α₃，仍是λ=5的特征向量，并且α₂+α₃，α₂一2α₃线性无关，故B选项正确。
对于选项C，因为α₂，α₃均是λ=5的特征向量，所以α₂与α₃谁在前谁在后均正确，故C选项正确。
由于α₁，α₂是不同特征值的特征向量，因此α₁+α₂，α₁一α₂不再是矩阵A的特征向量，故D选项错误，故选D。

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考研数学三

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