已知P-1AP=,α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量,α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是( )

admin2020-03-24  44

问题 已知P-1AP=,α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量,α2与α3是矩阵A属于特征值λ=5的特征向量,那么矩阵P不能是(    )

选项 A、(α1,一α2,α3)。
B、(α1,α23,α2—2α3)。
C、(α1,α3,α2)。
D、(α12,α1一α2,α3)。

答案D

解析 若P-1AP=Λ=,P=(α1,α2,α3),则有AP=PΛ,即
    (Aα1,Aα2,Aα3)=(λ1α1,λ2α2,λ3α3),可见αi是矩阵A属于特征值λi(i=1,2,3)的特征向量,又因矩阵P可逆,因此α1,α2,α3线性无关。
    若α是属于特征值λ的特征向量,则一α仍是属于特征值λ的特征向量,故A选项正确。
    若α,β是属于特征值λ的特征向量,则α与β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中,α2,α3是属于λ=5的线性无关的特征向量,故α23,α2一2α3,仍是λ=5的特征向量,并且α23,α2一2α3线性无关,故B选项正确。
    对于选项C,因为α2,α3均是λ=5的特征向量,所以α2与α3谁在前谁在后均正确,故C选项正确。
    由于α1,α2是不同特征值的特征向量,因此α12,α1一α2不再是矩阵A的特征向量,故D选项错误,故选D。
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