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已知向量组与向量组具有相同的秩,且β3可由α1,α2,α3线性表示,求a,b的值.
已知向量组与向量组具有相同的秩,且β3可由α1,α2,α3线性表示,求a,b的值.
admin
2014-06-15
48
问题
已知向量组
与向量组
具有相同的秩,且β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,求a,b的值.
选项
答案
[详解1] 因为α
1
和α
2
线性无关,α
3
=3α
1
+2α
2
,所以向量组α
1
,α
2
,α
3
线性相关,且秩为2,α
1
,α
2
是它的一个极大线性无关组. 由于向量组β
1
,β
2
,β
3
与α
1
,α
2
,α
3
具有相同的秩,故β
1
,β
2
,β
3
线性相关,从而行列式 [*], 由此解得 a=3b. 又β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,从而可由α
1
,α
2
线性表示,于是向量组α
1
,α
2
,β
3
线性相 关,因此有 [*], 解得 2b—10=0. 于是得 a=15,b=5. [详解2] 因β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,故线性方程组 [*] 有解.对增广矩阵施以初等行变换: [*] 由非齐次线性方程组有解的条件知,[*],得b=5. 又因为α
1
和α
2
线性无关,α
3
=3α
1
+2α
2
,所以向量组α
1
,α
2
,α
3
的秩为2,而题设β
1
,β
2
,β
3
, 与α
1
,α
2
,α
3
同秩,从而有 [*] 由此解得 a=15.
解析
向量组α
1
,α
2
,α
3
不含任何参数,其秩可直接计算出来为2,从而向量组β
1
,β
2
,β
3
的秩也可确定为2.即β
1
,β
2
,β
3
线性相关,可导出其行列式为0,得到一个方程;为了求出两个参数,还需要一个方程,根据β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,而α
1
,α
2
,α
3
的秩为2,因此β
3
与α
1
,α
2
,α
3
中的某两个向量线性相关,又可得一方程.最终可解出两个参数.当然,本题也可直接根据β
3
可由α
1
,α
2
,α
3
线性表示,即对应的线性方程组有解,利用有解的判定求参数.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eJ34777K
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考研数学二
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