已知向量组与向量组具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a，b的值．

admin2014-06-15 56

问题已知向量组

与向量组

具有相同的秩，且β₃可由α₁，α₂，α₃线性表示，求a，b的值．

选项

答案[详解1] 因为α₁和α₂线性无关，α₃＝3α₁＋2α₂，所以向量组α₁，α₂，α₃线性相关，且秩为2，α₁，α₂是它的一个极大线性无关组．由于向量组β₁，β₂，β₃与α₁，α₂，α₃具有相同的秩，故β₁，β₂，β₃线性相关，从而行列式 [*]，由此解得 a＝3b．又β₃可由α₁，α₂，α₃线性表示，从而可由α₁，α₂线性表示，于是向量组α₁，α₂，β₃线性相关，因此有 [*]，解得 2b—10＝0．于是得 a＝15，b＝5． [详解2] 因β₃可由α₁，α₂，α₃线性表示，故线性方程组 [*] 有解．对增广矩阵施以初等行变换： [*] 由非齐次线性方程组有解的条件知，[*]，得b＝5．又因为α₁和α₂线性无关，α₃＝3α₁＋2α₂，所以向量组α₁，α₂，α₃的秩为2，而题设β₁，β₂，β₃，与α₁，α₂，α₃同秩，从而有 [*] 由此解得 a＝15．

解析向量组α₁，α₂，α₃不含任何参数，其秩可直接计算出来为2，从而向量组β₁，β₂，β₃的秩也可确定为2．即β₁，β₂，β₃线性相关，可导出其行列式为0，得到一个方程；为了求出两个参数，还需要一个方程，根据β₃可由α₁，α₂，α₃线性表示，而α₁，α₂，α₃的秩为2，因此β₃与α₁，α₂，α₃中的某两个向量线性相关，又可得一方程．最终可解出两个参数．当然，本题也可直接根据β₃可由α₁，α₂，α₃线性表示，即对应的线性方程组有解，利用有解的判定求参数．

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考研数学二

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