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  3. 已知向量组与向量组具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a，b的值．

已知向量组与向量组具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a，b的值．

admin2014-06-15  29
问题 已知向量组与向量组具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a，b的值．
选项
答案[详解1] 因为α1和α2线性无关，α3＝3α1＋2α2，所以向量组α1，α2，α3线性相关，且秩为2，α1，α2是它的一个极大线性无关组． 由于向量组β1，β2，β3与α1，α2，α3具有相同的秩，故β1，β2，β3线性相关，从而行列式 [*]， 由此解得 a＝3b． 又β3可由α1，α2，α3线性表示，从而可由α1，α2线性表示，于是向量组α1，α2，β3线性相 关，因此有 [*]， 解得 2b—10＝0． 于是得 a＝15，b＝5． [详解2] 因β3可由α1，α2，α3线性表示，故线性方程组 [*] 有解．对增广矩阵施以初等行变换： [*] 由非齐次线性方程组有解的条件知，[*]，得b＝5． 又因为α1和α2线性无关，α3＝3α1＋2α2，所以向量组α1，α2，α3的秩为2，而题设β1，β2，β3， 与α1，α2，α3同秩，从而有 [*] 由此解得 a＝15．
解析 向量组α1，α2，α3不含任何参数，其秩可直接计算出来为2，从而向量组β1，β2，β3的秩也可确定为2．即β1，β2，β3线性相关，可导出其行列式为0，得到一个方程；为了求出两个参数，还需要一个方程，根据β3可由α1，α2，α3线性表示，而α1，α2，α3的秩为2，因此β3与α1，α2，α3中的某两个向量线性相关，又可得一方程．最终可解出两个参数．当然，本题也可直接根据β3可由α1，α2，α3线性表示，即对应的线性方程组有解，利用有解的判定求参数．
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考研数学二

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