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设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是三维线性无关的向量组,且Aα1=α1+3α2,Aα2=5α1-α2,Aα3=α1-α2+4α3, (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵Q,使得Q-1AQ为对角矩阵。
设A为三阶矩阵,α1,α2,α3是三维线性无关的向量组,且Aα1=α1+3α2,Aα2=5α1-α2,Aα3=α1-α2+4α3, (Ⅰ)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵Q,使得Q-1AQ为对角矩阵。
admin
2021-01-28
62
问题
设A为三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是三维线性无关的向量组,且Aα
1
=α
1
+3α
2
,Aα
2
=5α
1
-α
2
,Aα
3
=α
1
-α
2
+4α
3
,
(Ⅰ)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)求可逆矩阵Q,使得Q
-1
AQ为对角矩阵。
选项
答案
(Ⅰ)令P=(α
1
,α
2
,α
3
),因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,所以P可逆, 所以(Aα
1
,Aα
2
,Aα
3
)=(α
1
+3α
2
5α
1
-α
2
α
1
-α
2
+4α
3
, 从而A(α
1
,α
2
,α
3
)=(α
1
,α
2
,α
3
)[*],于是有A~B, 由|λE-B|=[*]=(λ+4)(λ-4)
2
=0。 得A的特征值为λ
1
=-4,λ
2
=λ
3
=4。 当λ
1
=-4时,由(-4E-B)X=0得ζ
1
=[*]; 当λ
2
=λ
3
=4时,由(-4E-B)X=0得[*] 令P
1
=(ζ
1
,ζ
2
,ζ
3
)=[*] 因为P
-1
AP=B,所以 P
1
-1
P
-1
APP
1
=P
1
-1
BP
1
=[*] 取Q=PP
1
=(-α
1
+α
2
,5α
1
+3α
2
,α
1
+3α
3
,则Q
-1
AQ=[*]。
解析
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考研数学三
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