设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1-α2，Aα3=α1-α2+4α3， (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。

admin2021-01-28 57

问题设A为三阶矩阵，α₁，α₂，α₃是三维线性无关的向量组，且Aα₁=α₁+3α₂，Aα₂=5α₁-α₂，Aα₃=α₁-α₂+4α₃，
(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q^-1AQ为对角矩阵。

选项

答案(Ⅰ)令P=(α₁，α₂，α₃)，因为α₁，α₂，α₃线性无关，所以P可逆，所以(Aα₁，Aα₂，Aα₃)=(α₁+3α₂5α₁-α₂α₁-α₂+4α₃，从而A(α₁，α₂，α₃)=(α₁，α₂，α₃)[*]，于是有A～B，由｜λE-B｜=[*]=(λ+4)(λ-4)²=0。得A的特征值为λ₁=-4，λ₂=λ₃=4。当λ₁=-4时，由(-4E-B)X=0得ζ₁=[*]；当λ₂=λ₃=4时，由(-4E-B)X=0得[*] 令P₁=(ζ₁，ζ₂，ζ₃)=[*] 因为P^-1AP=B，所以 P₁^-1P^-1APP₁=P₁^-1BP₁=[*] 取Q=PP₁=(-α₁+α₂，5α₁+3α₂，α₁+3α₃，则Q^-1AQ=[*]。

解析

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考研数学三

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设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1-α2，Aα3=α1-α2+4α3， (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。

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设3阶矩阵A的特征值为2，一2，1，B=A2一A+E，其中E为3阶单位矩阵，则行列式|B|=________。

设函数f(x，y)可微，且f(1，1)=1，f’x(1，1)=a，f’y(1，1)=b。又记φ(x)=f{x，f[x，f(x，x)]}，则φ1(1)=_____________________。

已知三阶方阵A，B满足关系式E+B=AB，A的三个特征值分别为3，－3，0，则｜B－1+2E｜=_______________．

某产品的成本函数为C(q)=aq2+bq+c，需求函数为q=(β一p)，其中c＞0为固定成本，a，b，α，β均为正常数，β＞b，q为需求量(需求量等于产量)，p为该产品的单价．求产量q为何值时，利润最大?

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设A=（α1，α2，α3，α4）是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵，齐次方程组Ax=0的通解为c（1，0，一3，2）T，证明α2，α3，α4是Ax=0的基础解系．

设f(x)=ln10x，g(x)=x，h(x)：ex/10，则当x充分大时有

函数z＝f(x，y)在点(x0，y0)可偏导是函数z＝f(x，y)在点(x0，y0)连续的()．

设y＝f(x)＝(Ⅰ)讨论f(x)在x＝0处的连续性；(Ⅱ)求f(x)的极值点与极值．

把当x→0时的无穷小量α=ln（1+x2）一ln（1一x4），β=∫0x2tantdt，γ=arctanx一x排列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的排列次序是

在我国农业社会主义改造的过程中，第一个阶段主要是发展农业互助组，它的性质是()

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从材料上分，路基可分为()。

以下各项中，不符合《商业银行开办代客境外理财业务管理暂行办法》有关规定的是()。

下列经济业务所产生的现金流量中，应列入现金流量表中“投资活动产生的现金流量”项目的是()。

根据国有资产管理法律制度的规定，某事业单位发生下列情形，其中应当对相关国有资产进行评估的有()。(2016年)

产品验证是在()基础上对规定要求已得到满足的认定。

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