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设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1-α2，Aα3=α1-α2+4α3， (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。
设A为三阶矩阵，α1，α2，α3是三维线性无关的向量组，且Aα1=α1+3α2，Aα2=5α1-α2，Aα3=α1-α2+4α3， (Ⅰ)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q-1AQ为对角矩阵。
admin
2021-01-28
68
问题
设A为三阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是三维线性无关的向量组，且Aα
1
=α
1
+3α
2
，Aα
2
=5α
1
-α
2
，Aα
3
=α
1
-α
2
+4α
3
，
(Ⅰ)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆矩阵Q，使得Q
-1
AQ为对角矩阵。
选项
答案
(Ⅰ)令P=(α
1
，α
2
，α
3
)，因为α
1
，α
2
，α
3
线性无关，所以P可逆， 所以(Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
)=(α
1
+3α
2
5α
1
-α
2
α
1
-α
2
+4α
3
， 从而A(α
1
，α
2
，α
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)[*]，于是有A～B， 由｜λE-B｜=[*]=(λ+4)(λ-4)
2
=0。 得A的特征值为λ
1
=-4，λ
2
=λ
3
=4。 当λ
1
=-4时，由(-4E-B)X=0得ζ
1
=[*]； 当λ
2
=λ
3
=4时，由(-4E-B)X=0得[*] 令P
1
=(ζ
1
，ζ
2
，ζ
3
)=[*] 因为P
-1
AP=B，所以 P
1
-1
P
-1
APP
1
=P
1
-1
BP
1
=[*] 取Q=PP
1
=(-α
1
+α
2
，5α
1
+3α
2
，α
1
+3α
3
，则Q
-1
AQ=[*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/klx4777K
0
考研数学三
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