某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ是已知的，设n次测量结果X1，X2，…，Xn相互独立且均服从正态分布N(μ，σ2)。该工程师记录的是n次测量的绝对误差Zi=|Xi—μ|(i=1，2，…，n)，利用Z1，Z2，…

admin2018-04-11 20

问题某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ是已知的，设n次测量结果X₁，X₂，…，X_n相互独立且均服从正态分布N(μ，σ²)。该工程师记录的是n次测量的绝对误差Z_i=|X_i—μ|(i=1，2，…，n)，利用Z₁，Z₂，…，Z_n估计σ。
(Ⅰ)求Z_i的概率密度；
(Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量；
(Ⅲ)求σ的最大似然估计量。

选项

答案(Ⅰ)因为X_i～N(μ，σ²)，所以Y_i=X_i一μ～N(0，σ²)，则随机变量Y_i的概率密度为 [*] 设Z_i的分布函数为F_Zi(z)，则当z＜0时，F_Zi(z)=0；当z≥0时，F_Zi(z)=P{Z_i≤z}=P{|Y_i|≤z}=P{—z≤Y_i≤z}=[*] 所以Z_i的概率密度为 [*] (Ⅲ)设Z₁，Z₂，…，Z_n的观测值为z₁，z₂，…，z_n，则似然函数为 L(z₁，z₂，…，z_n；σ)=[*] 取对数得 [*] 令[*] 故σ的最大似然估计量为[*]

解析

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考研数学一

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