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  3. 求微分方程y"+4y’+5y=8cosx的当x→-∞时为有界函数的特解．

求微分方程y"+4y’+5y=8cosx的当x→-∞时为有界函数的特解．

admin2019-02-20  48
问题 求微分方程y"+4y’+5y=8cosx的当x→-∞时为有界函数的特解．
选项
答案 题设方程对应的特征方程为r2+4r+5=0， 特征根为r=－2±i， 从而对应齐次方程y"+4y’+5y=0的通解为 [*]=e－2x(C1cosx+C2sinx). 由非齐次项8cosx知±i不是特征根，故可设原方程的一个特解为y*=Acosx+Bsinx．将y*代入原方程，比较系数得A=B=1，因此y*=cosx+sinx．于是，原方程的通解为 y=e－2x(C1cosx+C2sinx)+cosx+sinx． 当x→－∞时，e－2x→+∞，所以要使y有界，只有C1=C2=0．故所求的特解为y=cosx+sinx．
解析
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考研数学三

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