求微分方程y"+4y’+5y=8cosx的当x→-∞时为有界函数的特解.

admin2019-02-20  45

问题 求微分方程y"+4y’+5y=8cosx的当x→-∞时为有界函数的特解.

选项

答案 题设方程对应的特征方程为r2+4r+5=0, 特征根为r=-2±i, 从而对应齐次方程y"+4y’+5y=0的通解为 [*]=e-2x(C1cosx+C2sinx). 由非齐次项8cosx知±i不是特征根,故可设原方程的一个特解为y*=Acosx+Bsinx.将y*代入原方程,比较系数得A=B=1,因此y*=cosx+sinx.于是,原方程的通解为 y=e-2x(C1cosx+C2sinx)+cosx+sinx. 当x→-∞时,e-2x→+∞,所以要使y有界,只有C1=C2=0.故所求的特解为y=cosx+sinx.

解析
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