2. 考研
  3. 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。 (Ⅰ)求矩阵B使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B； (Ⅱ)求矩阵A的特征值； (Ⅲ)求可逆矩阵

设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足 Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。 (Ⅰ)求矩阵B使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B； (Ⅱ)求矩阵A的特征值； (Ⅲ)求可逆矩阵

admin2018-01-26  23
问题 设A为3阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的3维列向量，且满足
    Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。
(Ⅰ)求矩阵B使得A(α1，α2，α3)=(α1，α2，α3)B；
(Ⅱ)求矩阵A的特征值；
(Ⅲ)求可逆矩阵P使得P-1AP为对角矩阵。
选项
答案(Ⅰ)根据题设有 A(α1，α2，α3)=(Aα1，Aα2，Aα3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+3α3) =(α1，α2，α3)[*] 于是 [*] (Ⅱ)令P1=(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以P1可逆，且由(Ⅰ)的结论P1-1AP1=B，可知A～B。 由B的特征方程 ｜λE-B｜=[*]=(λ-1)2(λ-4)=0 得矩阵B的特征值为1，1，4，由相似矩阵的性质可知矩阵A的特征值也是1，1，4。 (Ⅲ)由(Ⅱ)的结论知B的特征值分别是1，1，4，于是解(E-B)x=0，得矩阵B属于特征值1的线性无关的特征向量β1=(-1，1，0)T，β2=(-2，0，1)T；解(4E-B)x=0，得矩阵B属于特征值4的特征向量β2=(0，1，1)T。 令P2=(β1，β2，β3)，则有 P2-1BP2=[*] 将P1-1AP1=B代入可得 P2-1P1-1AP1P2=[*] 令 P=P1P2=(α1，α2，α3)[*]=(-α1+α2，-2α1+α3，α2+α3)， 则 P-1AP=[*]
解析
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考研数学一

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