f(x)在(－∞，+∞)上连续，且f(x)的最小值f(x0)＜x0，证明：f[f(x)]至少在两点处取得最小值．

admin2018-09-25 17

问题 f(x)在(－∞，+∞)上连续，

且f(x)的最小值f(x₀)＜x₀，证明：f[f(x)]至少在两点处取得最小值．

选项

答案令F(x)=f(x)－x₀，则F(x)在(－∞，+∞)上连续，且 F(x₀)＜0， [*] 由 [*] 知存在a＜x₀，使得F(a)＞0；存在b＞x₀，使得F(b)＞0，于是由零点定理，知存在x₁∈(a，x₀)，使得F(x₁)=0；存在x₂∈(x₀，b)，使得F(x₂)=0，即有x₁＜x₀＜x₂，使得f(x₁)=x₀=f(x₂)，从而得f[f(x₁)]=f(x₀)=f[f(x₂)]．

解析

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