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  3. 设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意的x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)x，f′(=)=a≠0，试证：对任意的x∈(一∞，+∞)，f′(x)存在，并求f(x)．

设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意的x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)x，f′(=)=a≠0，试证：对任意的x∈(一∞，+∞)，f′(x)存在，并求f(x)．

admin2020-04-02  17
问题 设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意的x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)x，f′(=)=a≠0，试证：对任意的x∈(一∞，+∞)，f′(x)存在，并求f(x)．
选项
答案由等式f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex得f(x)=f(x)+f(0)ex，所以f(0)=0．则对于任意的x∈(－∞，+∞)，有 [*] 于是 [*] 即f′(x)=f(x)+ff′(0)ex．解此一阶线性微分方程，得f(x)=ex(ax+C)．再由f(0)=0，可得f(x)=axex．
解析
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考研数学一

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