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设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对任意的x∈(一∞,+∞),y∈(一∞,+∞)满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)x,f′(=)=a≠0,试证:对任意的x∈(一∞,+∞),f′(x)存在,并求f(x).
设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对任意的x∈(一∞,+∞),y∈(一∞,+∞)满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)x,f′(=)=a≠0,试证:对任意的x∈(一∞,+∞),f′(x)存在,并求f(x).
admin
2020-04-02
8
问题
设f(x)在(一∞,+∞)内有定义,且对任意的x∈(一∞,+∞),y∈(一∞,+∞)满足f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)
x
,f′(=)=a≠0,试证:对任意的x∈(一∞,+∞),f′(x)存在,并求f(x).
选项
答案
由等式f(x+y)=f(x)e
y
+f(y)e
x
得f(x)=f(x)+f(0)e
x
,所以f(0)=0.则对于任意的x∈(-∞,+∞),有 [*] 于是 [*] 即f′(x)=f(x)+ff′(0)e
x
.解此一阶线性微分方程,得f(x)=e
x
(ax+C).再由f(0)=0,可得f(x)=axe
x
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/epS4777K
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考研数学一
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