设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意的x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)满足f(x+y)=f(x)ey+f(y)x，f′(=)=a≠0，试证：对任意的x∈(一∞，+∞)，f′(x)存在，并求f(x)．

admin2020-04-02 21

问题设f(x)在(一∞，+∞)内有定义，且对任意的x∈(一∞，+∞)，y∈(一∞，+∞)满足f(x+y)=f(x)e^y+f(y)^x，f′(=)=a≠0，试证：对任意的x∈(一∞，+∞)，f′(x)存在，并求f(x)．

选项

答案由等式f(x+y)=f(x)e^y+f(y)e^x得f(x)=f(x)+f(0)e^x，所以f(0)=0．则对于任意的x∈(－∞，+∞)，有 [*] 于是 [*] 即f′(x)=f(x)+ff′(0)e^x．解此一阶线性微分方程，得f(x)=e^x(ax+C)．再由f(0)=0，可得f(x)=axe^x．

解析

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考研数学一

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