2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0 且xf’(x)=f(x)+ax2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=x(x)，问a为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?

设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0 且xf’(x)=f(x)+ax2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=x(x)，问a为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?

admin2018-11-21  97
问题 设f(x)在[0，1]连续，在(0，1)内f(x)＞0 且xf’(x)=f(x)+ax2，又由曲线y=f(x)与直线x=1，y=0围成平面图形的面积为2，求函数y=x(x)，问a为何值，此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?
选项
答案(Ⅰ)首先由xf’(x)=f(x)+[*]ax2，f(x)＞0(x∈(0，1))求出f(x)．这是求解一阶线性方程f’(x)一[*](取其中一个)，得 [*]ax2+Cx，x∈[0，1]，其中C为任意常数使得f(x)＞0 (x∈(0，1))． (Ⅱ)确定C与a的关系使得由y=f(x)与x=1，y=0围成平面图形的面积为2． 由已知条件得2=∫01[*]，则C=4一a．因此，f(x)=[*]ax2+(4一a)x，其中a为任意常数使得f(x)＞0(x∈(0，1))． [*]．又f’(x)=3ax+4一a，由此易知一8≤a≤4时f(x)＞0(x∈(0，1))． (Ⅲ)求旋转体的体积． V(a)=π∫01f2(x)dx=π∫01[*]ax2+(4—a)x]2dx =π∫01[[*]x4+x2—3x3)a2+(12x3—8x2)a+16x2]dx=π([*])． (Ⅳ)求V(a)的最小值点．由于 [*] 则当a=一5时f(x)＞0(x∈(0，1))，旋转体体积取最小值．
解析
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考研数学一

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