设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)内f(x)>0 且xf’(x)=f(x)+ax2,又由曲线y=f(x)与直线x=1,y=0围成平面图形的面积为2,求函数y=x(x),问a为何值,此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?

admin2018-11-21  48

问题 设f(x)在[0,1]连续,在(0,1)内f(x)>0 且xf’(x)=f(x)+ax2,又由曲线y=f(x)与直线x=1,y=0围成平面图形的面积为2,求函数y=x(x),问a为何值,此图形绕x轴旋转而成的旋转体体积最小?

选项

答案(Ⅰ)首先由xf’(x)=f(x)+[*]ax2,f(x)>0(x∈(0,1))求出f(x).这是求解一阶线性方程f’(x)一[*](取其中一个),得 [*]ax2+Cx,x∈[0,1],其中C为任意常数使得f(x)>0 (x∈(0,1)). (Ⅱ)确定C与a的关系使得由y=f(x)与x=1,y=0围成平面图形的面积为2. 由已知条件得2=∫01[*],则C=4一a.因此,f(x)=[*]ax2+(4一a)x,其中a为任意常数使得f(x)>0(x∈(0,1)). [*].又f’(x)=3ax+4一a,由此易知一8≤a≤4时f(x)>0(x∈(0,1)). (Ⅲ)求旋转体的体积. V(a)=π∫01f2(x)dx=π∫01[*]ax2+(4—a)x]2dx =π∫01[[*]x4+x2—3x3)a2+(12x3—8x2)a+16x2]dx=π([*]). (Ⅳ)求V(a)的最小值点.由于 [*] 则当a=一5时f(x)>0(x∈(0,1)),旋转体体积取最小值.

解析
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