二次型f(x1,x2,x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为10y12一4y22一4y32,Q的第1列为 (1)求A. (2)求一个满足要求的正交矩阵Q.

admin2019-01-05  48

问题 二次型f(x1,x2,x3)=XTAX在正交变换X=QY下化为10y12一4y22一4y32,Q的第1列为
(1)求A.
(2)求一个满足要求的正交矩阵Q.

选项

答案标准二次型10y12一4y22一4y32的矩阵为 [*] 则Q-1AQ=QTAQ=B,A和B相似.于是A的特征值是10,一4,一4. (1)Q的第1列[*]是A的属于10的特征向量,其[*]倍η1=(1,2,3)T也是属于10的特征向量.于是A的属于一4的特征向量和(1,2,3)T正交,因此就是方程x1+2x2+3x3=0的非零解.求出此方程的一个正交基础解系η2=(2,一1,0)T,[*] 建立矩阵方程A(η1,η2,η3)=(10η1,一4η2,一4η3),用初等变换法解得 [*] (2)将η2,η3单位化得[*] [*] 则正交矩阵Q=(α123)满足要求.

解析
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