设f(χ)在[a，b ]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f()＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝f(ξ)．

admin2019-08-23 39

问题设f(χ)在[a，b ]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)f(b)＞0，f(a)f(

)＜0．证明：存在ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)＝f(ξ)．

选项

答案不妨设f(a)＞0，f(b)＞0，f([*])＜0，令φ(φ)＝e^－χf(χ)，则 φ′(χ)＝e^－χ[f′(χ)－f(χ)]．因为φ(a)＞0，φ([*])＜0，φ(b)＞0，所以存在ξ₁∈(a，[*])，ξ₂∈([*]，b)，使得φ(ξ₁)＝φ(ξ₂)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ₁，ξ₂)[*](a，b)，使得φ′(ξ)＝0，即e^－ξ[f′(ξ)＝－f(ξ)]＝0，因为e^－ξ≠0，所以f′(ξ)＝f(ξ)．

解析

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考研数学二

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