设f(x)在[0,a](a>0)上有二阶连续导数,且f(x)≥0,f(0)=0,f"(x)>0,D={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤f(x)},证明:

admin2021-12-14  32

问题 设f(x)在[0,a](a>0)上有二阶连续导数,且f(x)≥0,f(0)=0,f"(x)>0,D={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤f(x)},证明:

选项

答案[*] 即证∫0axf(x)dx>2/3a∫0af(x)dx,只要证∫0a(x-2/3a)f(x)dx>0,令F(x)=∫0x(t-2/3x)f(t)dt,则F(0)=0,故只需证F(a)>0,F’(x)=1/3xf(x)-2/3∫0xf(t)dt,F’(0)=0,F"(x)=1/3xf’(x)-1/3f(x),F"(0)=0,F’"(x)=1/3xf"(x)≥0(因f"(x)>0,x≥0),故F"(x)单调增加,又F"(0)=0,F"(x)≥F"(0)=0,知F’(x)单调增加,又F’(0)=0,F’(x)≥F’(0)=0,所以F(x)单调增加,F(x)≥F(0)=0,当且仅当x=0时,等号成立,故F(a)>0。

解析
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