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从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度),(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为V,海水的比重为ρ,仪器所受阻力与下沉速
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度),(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为V,海水的比重为ρ,仪器所受阻力与下沉速
admin
2018-11-21
55
问题
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度),(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为V,海水的比重为ρ,仪器所受阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0).试建立y与v所满足的微分方程,并求出函数关系y=y(v).
选项
答案
取沉放点为坐标原点O,Oy轴的正向铅直向下,则由牛顿第二定律得 [*]=mg—ρV—kv. 由于v=[*],所以,此方程是一个既不显含自变量t,又不显含未知函数y的二阶方程,按照常规的办法,可以令v为未知函数,得到v所满足的一阶线性方程,这样所求得的是v与时间t的关系.然而题目所要求的是y与v的关系,注意[*],所以应将方程改写为 [*] 直接求积分,则有y=一[*]ln(H—kv)+C. 再由题设,其初始条件应为v|
y=0
=0,由此可定出C=[*]lnH,故所求的关系 [*]
解析
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考研数学一
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从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m,体积为V,海水的比重为ρ,仪器所受阻力与下沉速度
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