(I)设圆盘的半径为R，厚为h．点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离的平方，求该圆盘的质量m； (Ⅱ)将以曲线y＝，x＝1，x＝4及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成的旋转体记为V，设V的点密度为该点到旋转轴的距离的平方，求该物体的质量M．

admin2018-12-21 75

问题 (I)设圆盘的半径为R，厚为h．点密度为该点到与圆盘垂直的圆盘中心轴的距离的平方，求该圆盘的质量m；
(Ⅱ)将以曲线y＝

，x＝1，x＝4及x轴围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成的旋转体记为V，设V的点密度为该点到旋转轴的距离的平方，求该物体的质量M．

选项

答案(I)如图(a)所示，以环细分圆盘，设环的宽度为dr，内半径为r，在环上点密度视为不变，为r²，质量微元为dm＝r²·2πrdr·h．于是该圆盘的质量为m＝2πh∫^R₀r³＝[*]πhR⁴． [*] (Ⅱ)如图(b)所示，该旋转体可看成由一个个薄片组成，由(I)，每一薄片的质量dM＝[*]πR⁴dx，其中R为x处的旋转半径，即y，于是质量微元为dM＝[*]πy⁴dx＝[*]πx²dx．所以物体的质量为[*]

解析

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考研数学二

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考研数学二

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