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求证:当x>0时,不等式(1+x)ln2(1+x)<x2成立.
求证:当x>0时,不等式(1+x)ln2(1+x)<x2成立.
admin
2019-05-08
14
问题
求证:当x>0时,不等式(1+x)ln
2
(1+x)<x
2
成立.
选项
答案
令f(x)=x
2
一(1+x)ln
2
(1+x),则有f(x)在[0,+∞)三阶可导且f(0)=0, f’(x)=2x—ln
2
(1+x)一2ln(1+x),f’(0)=0, [*] 于是f"(x)当x≥0时单调增加,又f"(0)=0,所以当x>0时f"(x)>f"(0)=0.从而f’(x)当x≥0时单调增加,又f’(0)=0,故当x>0时f’(x)>f’(0)=0.因此f(x)当x≥0时单调增加,又f(0)=0,所以当x>0时f(x)>f(0)=0.原不等式得证.
解析
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考研数学三
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