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  3. 求证：当x＞0时，不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．

求证：当x＞0时，不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．

admin2019-05-08  24
问题 求证：当x＞0时，不等式(1+x)ln2(1+x)＜x2成立．
选项
答案令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，则有f(x)在[0，+∞)三阶可导且f(0)=0， f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0， [*] 于是f"(x)当x≥0时单调增加，又f"(0)=0，所以当x＞0时f"(x)＞f"(0)=0．从而f’(x)当x≥0时单调增加，又f’(0)=0，故当x＞0时f’(x)＞f’(0)=0．因此f(x)当x≥0时单调增加，又f(0)=0，所以当x＞0时f(x)＞f(0)=0．原不等式得证．
解析
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考研数学三

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