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设f(x)在[a,b]上可导,f’(a)f’(b)
设f(x)在[a,b]上可导,f’(a)f’(b)
admin
2014-04-16
23
问题
设f(x)在[a,b]上可导,f
’
(a)f
’
(b)<0.则下述命题正确的是( )
选项
A、至少存在一点x
0
∈(a,b)使得f(x
0
)
B、至少存在一点x
0
∈(a,b)使得f(x
0
)
C、至少存在一点x
0
∈(a,b)使得f(x
0
)=0.
D、至少存在一点x
0
∈(a,b)使得
答案
C
解析
证明C正确.不妨设f
’
(a)>0,f
’
(b)<0.由导数定义及极限的保号性,得
则在x=a的右侧去心邻域,存在x
1
,使得f(x
1
)>f(a).又由
在x=b的左侧去心邻域,存在x
2
,使得f(x
2
)>f(b).所以f(b)与f(b)均不是f(x)在[a,b]上的最大值,因此必存在x
0
∈(a,b),使得
所以f(ξ)是f(x)的一个极大值,从而f
’
(x
0
)=0.故C正确.A,B,D的反例:f(x)=x(1-x)。x∈[0,1],f(0)=f(1)=0,当x∈(0,1)时,f(x)>0.故知A,B,D均不正确.
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考研数学二
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