2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上可导，f’(a)f’(b)

设f(x)在[a，b]上可导，f’(a)f’(b)

admin2014-04-16  9
问题 设f(x)在[a，b]上可导，f’(a)f’(b)<0．则下述命题正确的是(    )
选项 A、至少存在一点x0∈(a，b)使得f(x0)B、至少存在一点x0∈(a，b)使得f(x0)C、至少存在一点x0∈(a，b)使得f(x0)=0．
D、至少存在一点x0∈(a，b)使得
答案C
解析 证明C正确．不妨设f’(a)>0,f’(b)<0．由导数定义及极限的保号性，得则在x=a的右侧去心邻域，存在x1，使得f(x1)＞f(a)．又由在x=b的左侧去心邻域，存在x2，使得f(x2)>f(b)．所以f(b)与f(b)均不是f(x)在[a，b]上的最大值，因此必存在x0∈(a，b)，使得所以f(ξ)是f(x)的一个极大值，从而f’(x0)=0．故C正确．A，B，D的反例：f(x)=x(1－x)。x∈[0，1]，f(0)=f(1)=0，当x∈(0，1)时，f(x)>0．故知A，B，D均不正确．
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考研数学二

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