2. 考研
  3. 求[0，＋∞)上连续曲线y＝f(χ)≥0的方程，使曲线y＝f(χ)与两坐标轴及过点(t，0)(t＞0)的垂直于χ轴的直线所围成的曲边梯形，绕χ轴旋转所形成的旋转体的形心的横坐标等于t．

求[0，＋∞)上连续曲线y＝f(χ)≥0的方程，使曲线y＝f(χ)与两坐标轴及过点(t，0)(t＞0)的垂直于χ轴的直线所围成的曲边梯形，绕χ轴旋转所形成的旋转体的形心的横坐标等于t．

admin2019-05-14  50
问题 求[0，＋∞)上连续曲线y＝f(χ)≥0的方程，使曲线y＝f(χ)与两坐标轴及过点(t，0)(t＞0)的垂直于χ轴的直线所围成的曲边梯形，绕χ轴旋转所形成的旋转体的形心的横坐标等于t．
选项
答案该旋转体记为Ωt，它的体积是 V＝π∫01f2(χ)dχ． 它的形心的χ坐标 [*]χdV／π∫0tf2(χ)dχ， 其中[*]＝∫0tχ.πf2(χ)dχ 于是[*]＝π∫0tχf2(χ)dχ／π∫0tf2(χ)dχ＝∫0tχf3(χ)dχ／∫0tf2(χ)dχ． 按题意得 ∫0tχf2(χ)dχ／∫0tf2(χ)dχ＝[*]t， 即∫0tχf2(χ)dχ＝[*]t∫0tf2(χ)dχ． ① 两边求导得 tf2(t)＝[*] 即tf2(t)＝∫0tf2(t)dt ② 再对t求导得 f2(t)＋2tf(t)f′(t)＝4f2(f)， 即f′(t)－[*]f(t)＝0(t＞0)． ③ (①，②式中令t＝0时等式自然成立，不必另加条件．) 现在③式两边乘[*]得[*]＝0．积分得 f(t)＝C[*] (t＞0)． 又f(χ)在[0，＋∞)上连续，因此求得 f(χ)＝C[*](χ≥0)，其中C＞0为[*]常数．
解析
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考研数学一

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