求[0,+∞)上连续曲线y=f(χ)≥0的方程,使曲线y=f(χ)与两坐标轴及过点(t,0)(t>0)的垂直于χ轴的直线所围成的曲边梯形,绕χ轴旋转所形成的旋转体的形心的横坐标等于t.

admin2019-05-14  23

问题 求[0,+∞)上连续曲线y=f(χ)≥0的方程,使曲线y=f(χ)与两坐标轴及过点(t,0)(t>0)的垂直于χ轴的直线所围成的曲边梯形,绕χ轴旋转所形成的旋转体的形心的横坐标等于t.

选项

答案该旋转体记为Ωt,它的体积是 V=π∫01f2(χ)dχ. 它的形心的χ坐标 [*]χdV/π∫0tf2(χ)dχ, 其中[*]=∫0tχ.πf2(χ)dχ 于是[*]=π∫0tχf2(χ)dχ/π∫0tf2(χ)dχ=∫0tχf3(χ)dχ/∫0tf2(χ)dχ. 按题意得 ∫0tχf2(χ)dχ/∫0tf2(χ)dχ=[*]t, 即∫0tχf2(χ)dχ=[*]t∫0tf2(χ)dχ. ① 两边求导得 tf2(t)=[*] 即tf2(t)=∫0tf2(t)dt ② 再对t求导得 f2(t)+2tf(t)f′(t)=4f2(f), 即f′(t)-[*]f(t)=0(t>0). ③ (①,②式中令t=0时等式自然成立,不必另加条件.) 现在③式两边乘[*]得[*]=0.积分得 f(t)=C[*] (t>0). 又f(χ)在[0,+∞)上连续,因此求得 f(χ)=C[*](χ≥0),其中C>0为[*]常数.

解析
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