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求[0,+∞)上连续曲线y=f(χ)≥0的方程,使曲线y=f(χ)与两坐标轴及过点(t,0)(t>0)的垂直于χ轴的直线所围成的曲边梯形,绕χ轴旋转所形成的旋转体的形心的横坐标等于t.
求[0,+∞)上连续曲线y=f(χ)≥0的方程,使曲线y=f(χ)与两坐标轴及过点(t,0)(t>0)的垂直于χ轴的直线所围成的曲边梯形,绕χ轴旋转所形成的旋转体的形心的横坐标等于t.
admin
2019-05-14
30
问题
求[0,+∞)上连续曲线y=f(χ)≥0的方程,使曲线y=f(χ)与两坐标轴及过点(t,0)(t>0)的垂直于χ轴的直线所围成的曲边梯形,绕χ轴旋转所形成的旋转体的形心的横坐标等于
t.
选项
答案
该旋转体记为Ω
t
,它的体积是 V=π∫
0
1
f
2
(χ)dχ. 它的形心的χ坐标 [*]χdV/π∫
0
t
f
2
(χ)dχ, 其中[*]=∫
0
t
χ.πf
2
(χ)dχ 于是[*]=π∫
0
t
χf
2
(χ)dχ/π∫
0
t
f
2
(χ)dχ=∫
0
t
χf
3
(χ)dχ/∫
0
t
f
2
(χ)dχ. 按题意得 ∫
0
t
χf
2
(χ)dχ/∫
0
t
f
2
(χ)dχ=[*]t, 即∫
0
t
χf
2
(χ)dχ=[*]t∫
0
t
f
2
(χ)dχ. ① 两边求导得 tf
2
(t)=[*] 即tf
2
(t)=∫
0
t
f
2
(t)dt ② 再对t求导得 f
2
(t)+2tf(t)f′(t)=4f
2
(f), 即f′(t)-[*]f(t)=0(t>0). ③ (①,②式中令t=0时等式自然成立,不必另加条件.) 现在③式两边乘[*]得[*]=0.积分得 f(t)=C[*] (t>0). 又f(χ)在[0,+∞)上连续,因此求得 f(χ)=C[*](χ≥0),其中C>0为[*]常数.
解析
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考研数学一
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